Номер 36, страница 19 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

36. *Груз массой $m = 60 \text{ г}$ совершает свободные гармонические колебания с амплитудой $x_{\text{max}} = 16 \text{ см}$ и циклической частотой $\omega = 5\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите максимальную кинетическую энергию колебаний груза.

Дано:

$m = 60 \text{ г}$

$x_{max} = 16 \text{ см}$

$\omega = 5\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Перевод в систему СИ:

$m = 60 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.06 \text{ кг}$

$x_{max} = 16 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

$E_{k \text{ max}}$

Решение:

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Максимальная кинетическая энергия достигается в момент, когда скорость тела максимальна. Для гармонических колебаний уравнение движения имеет вид $x(t) = x_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$. Скорость тела является производной от координаты по времени:

$v(t) = x'(t) = -x_{max}\omega\sin(\omega t + \phi_0)$

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равно:

$v_{max} = x_{max}\omega$

Подставим это значение в формулу для кинетической энергии, чтобы найти её максимальное значение:

$E_{k \text{ max}} = \frac{1}{2}m v_{max}^2 = \frac{1}{2}m(x_{max}\omega)^2 = \frac{1}{2}m x_{max}^2 \omega^2$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$E_{k \text{ max}} = \frac{1}{2} \cdot 0.06 \text{ кг} \cdot (0.16 \text{ м})^2 \cdot (5\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2$

$E_{k \text{ max}} = 0.03 \cdot 0.0256 \cdot 25\pi^2 \text{ Дж}$

$E_{k \text{ max}} = 0.000768 \cdot 25\pi^2 \text{ Дж}$

$E_{k \text{ max}} = 0.0192\pi^2 \text{ Дж}$

Принимая $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$E_{k \text{ max}} \approx 0.0192 \cdot 9.87 \text{ Дж} \approx 0.1895 \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$E_{k \text{ max}} \approx 0.19 \text{ Дж}$

Ответ: $E_{k \text{ max}} \approx 0.19 \text{ Дж}$.