Номер 31, страница 17 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

31. *Два маленьких цилиндра равной массы совершают гармонические колебания вдоль оси $Ox$. На рисунке 13 представлены графики зависимости координаты цилиндров от времени. Определите, во сколько раз отличаются:

а) модули максимальных импульсов цилиндров: $p_{max} = m A \omega$;

б) модули максимальных равнодействующих сил, действующих на цилиндры: $F_{max} = m A \omega^2$.

Рис. 13

Дано:

Два цилиндра совершают гармонические колебания.

Массы цилиндров равны: $m_1 = m_2 = m$.

Из графика (рис. 13) определим амплитуды и периоды колебаний. Примем, что одна клетка по оси ординат (координата x) равна $x_0$, а одна клетка по оси абсцисс (время t) равна $t_0$.

Для первого цилиндра (график I, черный):

Амплитуда $A_1 = 2x_0$.

Период $T_1 = 4t_0$.

Для второго цилиндра (график II, синий):

Амплитуда $A_2 = 1x_0 = x_0$.

Период $T_2 = 8t_0$.

Найти:

а) $\frac{p_{max,1}}{p_{max,2}}$

б) $\frac{F_{max,1}}{F_{max,2}}$

Решение:

Координата тела при гармонических колебаниях изменяется по закону $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота.

Скорость тела является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равно $v_{max} = A\omega$.

Ускорение тела является второй производной от координаты по времени: $a(t) = x''(t)$. Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) равно $a_{max} = A\omega^2$.

Циклическая частота связана с периодом колебаний $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

а) модули максимальных импульсов цилиндров;

Импульс тела определяется по формуле $p = mv$. Максимальный импульс соответствует максимальной скорости:

$p_{max} = m v_{max} = m A \omega = m A \frac{2\pi}{T}$

Найдем отношение максимальных импульсов для первого и второго цилиндров:

$\frac{p_{max,1}}{p_{max,2}} = \frac{m_1 A_1 \omega_1}{m_2 A_2 \omega_2}$

Так как массы равны ($m_1=m_2$), получаем:

$\frac{p_{max,1}}{p_{max,2}} = \frac{A_1 \omega_1}{A_2 \omega_2} = \frac{A_1 (2\pi/T_1)}{A_2 (2\pi/T_2)} = \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим значения из анализа графика:

$\frac{p_{max,1}}{p_{max,2}} = \frac{2x_0}{x_0} \cdot \frac{8t_0}{4t_0} = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: Модуль максимального импульса первого цилиндра в 4 раза больше модуля максимального импульса второго цилиндра.

б) модули максимальных равнодействующих сил, действующих на цилиндры.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила $F = ma$. Максимальная сила соответствует максимальному ускорению:

$F_{max} = m a_{max} = m A \omega^2 = m A (\frac{2\pi}{T})^2 = \frac{4\pi^2 m A}{T^2}$

Найдем отношение максимальных сил для первого и второго цилиндров:

$\frac{F_{max,1}}{F_{max,2}} = \frac{m_1 A_1 \omega_1^2}{m_2 A_2 \omega_2^2}$

Так как массы равны ($m_1=m_2$), получаем:

$\frac{F_{max,1}}{F_{max,2}} = \frac{A_1 \omega_1^2}{A_2 \omega_2^2} = \frac{A_1}{A_2} \cdot (\frac{\omega_1}{\omega_2})^2 = \frac{A_1}{A_2} \cdot (\frac{2\pi/T_1}{2\pi/T_2})^2 = \frac{A_1}{A_2} \cdot (\frac{T_2}{T_1})^2$

Подставим значения из анализа графика:

$\frac{F_{max,1}}{F_{max,2}} = \frac{2x_0}{x_0} \cdot (\frac{8t_0}{4t_0})^2 = 2 \cdot (2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

Ответ: Модуль максимальной равнодействующей силы, действующей на первый цилиндр, в 8 раз больше модуля максимальной равнодействующей силы, действующей на второй цилиндр.