Номер 24, страница 14 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

24. На рисунке 10 представлен график гармонических колебаний маленькой муфты, прикрепленной к пружине и движущейся вдоль оси $Ox$. Запишите:

а) кинематический закон гармонических колебаний муфты;

$x(t) = 5.0 \cos(\pi t)$

б) уравнение зависимости проекции скорости муфты на ось $Ox$ от времени;

$v_x(t) = -5.0\pi \sin(\pi t)$

в) уравнение зависимости проекции ускорения муфты на ось $Ox$ от времени.

$a_x(t) = -5.0\pi^2 \cos(\pi t)$

Рис. 10

Дано:

Из графика гармонических колебаний определяем:

Амплитуда колебаний $A = 5,0 \text{ см}$

Период колебаний $T = 2,0 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$A = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

а) Кинематический закон гармонических колебаний $x(t)$.

б) Уравнение зависимости проекции скорости $v_x(t)$.

в) Уравнение зависимости проекции ускорения $a_x(t)$.

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (круговая) частота, $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

1. Найдем циклическую частоту $\omega$ через период $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2,0 \text{ с}} = \pi \text{ рад/с}$

2. Определим начальную фазу $\varphi_0$. Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ смещение максимально и равно амплитуде: $x(0) = A$.

Подставим это условие в общее уравнение:

$A = A \cos(\omega \cdot 0 + \varphi_0) \implies A = A \cos(\varphi_0) \implies \cos(\varphi_0) = 1$

Отсюда следует, что начальная фаза $\varphi_0 = 0$.

а) кинематический закон гармонических колебаний муфты

Подставим найденные значения $A$, $\omega$ и $\varphi_0$ в общее уравнение. Получим кинематический закон движения муфты (в СИ):

$x(t) = 0,05 \cos(\pi t)$

Ответ: Кинематический закон колебаний муфты имеет вид $x(t) = 0,05 \cos(\pi t)$ (где $x$ в метрах, $t$ в секундах).

б) уравнение зависимости проекции скорости муфты на ось Ox от времени

Проекция скорости $v_x$ является первой производной от координаты $x$ по времени $t$:

$v_x(t) = x'(t) = (0,05 \cos(\pi t))' = -0,05 \cdot \pi \sin(\pi t)$

Амплитуда скорости $v_{max} = A\omega = 0,05 \cdot \pi \approx 0,157 \text{ м/с}$.

Ответ: Уравнение зависимости проекции скорости от времени имеет вид $v_x(t) = -0,05\pi \sin(\pi t)$ (где $v_x$ в м/с, $t$ в секундах).

в) уравнение зависимости проекции ускорения муфты на ось Ox от времени

Проекция ускорения $a_x$ является первой производной от проекции скорости $v_x$ по времени $t$ (или второй производной от координаты $x$):

$a_x(t) = v_x'(t) = (-0,05\pi \sin(\pi t))' = -0,05\pi \cdot \pi \cos(\pi t) = -0,05\pi^2 \cos(\pi t)$

Амплитуда ускорения $a_{max} = A\omega^2 = 0,05 \cdot \pi^2 \approx 0,49 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Уравнение зависимости проекции ускорения от времени имеет вид $a_x(t) = -0,05\pi^2 \cos(\pi t)$ (где $a_x$ в м/с$^2$, $t$ в секундах).