Номер 23, страница 14 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

23. На рисунке 9 представлен график гармонических колебаний бруска вдоль оси $Ox$.

1) *Определите модуль максимальной скорости и модуль максимального ускорения бруска.

2) Запишите кинематический закон колебаний бруска.

3) Найдите среднюю скорость пути бруска за период колебаний.

Рис. 9

Дано:

Из графика гармонических колебаний:
Амплитуда, $A = 6,0 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$
Период колебаний, $T = 4,0 \text{ с}$

Найти:

1) $v_{max}$ — модуль максимальной скорости, $a_{max}$ — модуль максимального ускорения
2) $x(t)$ — кинематический закон колебаний
3) $\langle v \rangle$ — средняя скорость пути за период

Решение:

1) *Определите модуль максимальной скорости и модуль максимального ускорения бруска.

Сначала найдем циклическую (круговую) частоту колебаний $\omega$ через период $T$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4,0 \text{ с}} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$.
Модуль максимальной скорости $v_{max}$ при гармонических колебаниях определяется по формуле:
$v_{max} = A \cdot \omega$.
Подставим значения в СИ:
$v_{max} = 0,06 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ рад/с} = 0,03\pi \text{ м/с} \approx 0,094 \text{ м/с}$.
Модуль максимального ускорения $a_{max}$ определяется по формуле:
$a_{max} = A \cdot \omega^2$.
Подставим значения в СИ:
$a_{max} = 0,06 \text{ м} \cdot (\frac{\pi}{2} \text{ рад/с})^2 = 0,06 \cdot \frac{\pi^2}{4} \text{ м/с}^2 = 0,015\pi^2 \text{ м/с}^2 \approx 0,148 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Модуль максимальной скорости равен $0,03\pi \text{ м/с}$ (приблизительно $0,094 \text{ м/с}$). Модуль максимального ускорения равен $0,015\pi^2 \text{ м/с}^2$ (приблизительно $0,148 \text{ м/с}^2$).

2) Запишите кинематический закон колебаний бруска.

Кинематический закон гармонических колебаний имеет общий вид $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$.
Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ координата бруска $x=0$. Кроме того, в этот момент скорость бруска направлена в сторону положительных значений оси $Ox$ (график идет вверх). Это соответствует колебаниям, описываемым функцией синуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.
Таким образом, закон колебаний имеет вид: $x(t) = A \sin(\omega t)$.
Подставляя значения амплитуды $A$ и циклической частоты $\omega$ (все величины в СИ):
$x(t) = 0,06 \sin(\frac{\pi}{2} t)$.

Ответ: Кинематический закон колебаний бруска $x(t) = 0,06 \sin(\frac{\pi}{2} t)$, где $x$ выражено в метрах, а $t$ — в секундах.

3) Найдите среднюю скорость пути бруска за период колебаний.

Средняя скорость пути $\langle v \rangle$ определяется как отношение пути $S$, пройденного телом, ко времени движения $\Delta t$.
$\langle v \rangle = \frac{S}{\Delta t}$.
За один период колебаний ($ \Delta t = T $) брусок проходит путь $S$, равный четырем амплитудам ($4A$). Он движется от положения равновесия до максимального отклонения ($A$), обратно до положения равновесия ($A$), до минимального отклонения ($A$) и снова в положение равновесия ($A$).
$S = 4A = 4 \cdot 0,06 \text{ м} = 0,24 \text{ м}$.
Время движения равно периоду: $\Delta t = T = 4,0 \text{ с}$.
Тогда средняя скорость пути:
$\langle v \rangle = \frac{S}{T} = \frac{0,24 \text{ м}}{4,0 \text{ с}} = 0,06 \text{ м/с}$.

Ответ: Средняя скорость пути бруска за период колебаний равна $0,06 \text{ м/с}$.