Номер 16, страница 11 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

16. *Координата шарика массой $m = 80\text{ г}$, подвешенного на пружине и совершающего гармонические колебания вдоль оси $Oy$, изменяется по закону: $y(t) = A\sin(Bt + C)$, где $A = 14\text{ см}$, $B = \frac{\pi}{2} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$ и $C = \frac{\pi}{3}\text{ рад}$. Определите:

а) проекцию скорости в момент времени $t_1 = 1,0\text{ с}$;

б) проекцию ускорения в момент времени $t_2 = 2,0\text{ с}$;

в) проекцию импульса шарика в момент времени $t_3 = 3,0\text{ с}$;

г) проекцию равнодействующей сил, действующих на шарик в момент времени $t_4 = 4,0\text{ с}$.

Дано:

$m = 80 \text{ г} = 0.08 \text{ кг}$

$A = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$B = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$

$C = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

$y(t) = A\sin(Bt + C)$

$t_1 = 1.0 \text{ с}$

$t_2 = 2.0 \text{ с}$

$t_3 = 3.0 \text{ с}$

$t_4 = 4.0 \text{ с}$

Найти:

а) $v_y(t_1)$ - ?

б) $a_y(t_2)$ - ?

в) $p_y(t_3)$ - ?

г) $F_y(t_4)$ - ?

Решение:

Уравнение гармонических колебаний шарика вдоль оси Oy задано в виде $y(t) = A\sin(Bt + C)$.

а) проекцию скорости в момент времени $t_1 = 1,0$ с

Проекция скорости $v_y$ на ось Oy является первой производной от координаты $y$ по времени $t$:

$v_y(t) = y'(t) = \frac{d}{dt}(A \sin(Bt + C)) = AB \cos(Bt + C)$

Подставим заданные значения и время $t_1 = 1,0$ с:

$v_y(t_1) = 0.14 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 1.0 + \frac{\pi}{3}) = 0.07\pi \cos(\frac{3\pi + 2\pi}{6}) = 0.07\pi \cos(\frac{5\pi}{6})$

Значение косинуса: $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$v_y(t_1) = 0.07\pi \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -0.035\pi\sqrt{3} \approx -0.190 \text{ м/с}$

Ответ: проекция скорости $v_y(t_1) \approx -0.190 \text{ м/с}$.

б) проекцию ускорения в момент времени $t_2 = 2,0$ с

Проекция ускорения $a_y$ на ось Oy является первой производной от скорости $v_y$ по времени $t$ (или второй производной от координаты $y$):

$a_y(t) = v_y'(t) = \frac{d}{dt}(AB \cos(Bt + C)) = -AB^2 \sin(Bt + C)$

Подставим заданные значения и время $t_2 = 2,0$ с:

$a_y(t_2) = -0.14 \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \cdot \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 2.0 + \frac{\pi}{3}) = -0.14 \frac{\pi^2}{4} \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -0.035\pi^2 \sin(\frac{4\pi}{3})$

Значение синуса: $\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$a_y(t_2) = -0.035\pi^2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0.0175\pi^2\sqrt{3} \approx 0.299 \text{ м/с}^2$

Ответ: проекция ускорения $a_y(t_2) \approx 0.299 \text{ м/с}^2$.

в) проекцию импульса шарика в момент времени $t_3 = 3,0$ с

Проекция импульса $p_y$ на ось Oy равна произведению массы шарика $m$ на проекцию его скорости $v_y$:

$p_y(t) = m \cdot v_y(t) = mAB \cos(Bt + C)$

Подставим заданные значения и время $t_3 = 3,0$ с:

$p_y(t_3) = 0.08 \cdot 0.14 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 3.0 + \frac{\pi}{3}) = 0.0056\pi \cos(\frac{9\pi + 2\pi}{6}) = 0.0056\pi \cos(\frac{11\pi}{6})$

Значение косинуса: $\cos(\frac{11\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$p_y(t_3) = 0.0056\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.0028\pi\sqrt{3} \approx 0.0152 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: проекция импульса $p_y(t_3) \approx 0.0152 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

г) проекцию равнодействующей сил, действующих на шарик в момент времени $t_4 = 4,0$ с

Согласно второму закону Ньютона, проекция равнодействующей силы $F_y$ на ось Oy равна произведению массы шарика $m$ на проекцию его ускорения $a_y$:

$F_y(t) = m \cdot a_y(t) = -mAB^2 \sin(Bt + C)$

Подставим заданные значения и время $t_4 = 4,0$ с:

$F_y(t_4) = -0.08 \cdot 0.14 \cdot (\frac{\pi}{2})^2 \cdot \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 4.0 + \frac{\pi}{3}) = -0.0112 \frac{\pi^2}{4} \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = -0.0028\pi^2 \sin(\frac{\pi}{3})$

Значение синуса: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$F_y(t_4) = -0.0028\pi^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.0014\pi^2\sqrt{3} \approx -0.0239 \text{ Н}$

Ответ: проекция равнодействующей сил $F_y(t_4) \approx -0.0239 \text{ Н}$.