Номер 15, страница 11 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

15. *Координата кубика массой $m = 200$ г, совершающего гармонические колебания вдоль оси $Ox$, изменяется по закону: $x(t) = A\cos(Bt)$, где $A = 50$ см, $B = \frac{\pi}{3} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите:

а) модуль максимальной скорости;

б) модуль максимального ускорения;

в) модуль максимальной равнодействующей сил, действующих на кубик;

г) максимальную кинетическую энергию кубика;

д) модуль максимального импульса кубика.

Дано:

$m = 200 \text{ г}$

$A = 50 \text{ см}$

$B = \frac{\pi}{3} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$x(t) = A\cos(Bt)$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.2 \text{ кг}$

$A = 0.5 \text{ м}$

Найти:

а) $v_{max}$

б) $a_{max}$

в) $F_{max}$

г) $K_{max}$

д) $p_{max}$

Решение:

Закон движения $x(t) = A\cos(Bt)$ описывает гармонические колебания с амплитудой $A$ и циклической частотой $\omega = B$.

а) модуль максимальной скорости

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = -AB\sin(Bt)$.

Модуль скорости максимален, когда $|\sin(Bt)| = 1$. Амплитудное (максимальное) значение скорости равно:

$v_{max} = A \cdot B = 0.5 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{3} \frac{\text{рад}}{\text{с}} = \frac{\pi}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 0.524 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: $v_{max} = \frac{\pi}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 0.524 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

б) модуль максимального ускорения

Ускорение тела $a(t)$ является первой производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t) = -AB^2\cos(Bt)$.

Модуль ускорения максимален, когда $|\cos(Bt)| = 1$. Амплитудное (максимальное) значение ускорения равно:

$a_{max} = A \cdot B^2 = 0.5 \text{ м} \cdot \left(\frac{\pi}{3} \frac{\text{рад}}{\text{с}}\right)^2 = 0.5 \cdot \frac{\pi^2}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{\pi^2}{18} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0.548 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Ответ: $a_{max} = \frac{\pi^2}{18} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0.548 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

в) модуль максимальной равнодействующей сил, действующих на кубик

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила $F=ma$. Сила максимальна, когда ускорение максимально:

$F_{max} = m \cdot a_{max} = 0.2 \text{ кг} \cdot \frac{\pi^2}{18} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{0.2\pi^2}{18} \text{ Н} = \frac{\pi^2}{90} \text{ Н} \approx 0.110 \text{ Н}$.

Ответ: $F_{max} = \frac{\pi^2}{90} \text{ Н} \approx 0.110 \text{ Н}$.

г) максимальную кинетическую энергию кубика

Кинетическая энергия определяется формулой $K = \frac{1}{2}mv^2$. Энергия максимальна, когда скорость максимальна:

$K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot \left(\frac{\pi}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2 = 0.1 \cdot \frac{\pi^2}{36} \text{ Дж} = \frac{\pi^2}{360} \text{ Дж} \approx 0.0274 \text{ Дж}$.

Ответ: $K_{max} = \frac{\pi^2}{360} \text{ Дж} \approx 0.0274 \text{ Дж}$.

д) модуль максимального импульса кубика

Импульс тела определяется формулой $p = mv$. Импульс максимален, когда скорость максимальна:

$p_{max} = m \cdot v_{max} = 0.2 \text{ кг} \cdot \frac{\pi}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{0.2\pi}{6} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}} = \frac{\pi}{30} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}} \approx 0.105 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: $p_{max} = \frac{\pi}{30} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}} \approx 0.105 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$.