Номер 14, страница 11 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

14. После удара струна гитары начала колебаться с амплитудой $x_{\text{max}} = 2 \text{ мм}$, издавая звук «соль» малой октавы $(\nu = 196 \text{ Гц})$. Определите:

а) *модуль максимальной скорости точек струны относительно неподвижного воздуха;

б) *модуль максимального ускорения точек струны;

в) путь, который относительно неподвижного воздуха прошла бы за одну секунду точка струны, амплитуда колебаний которой $x_{\text{max}}$, если бы затухание колебаний струны не происходило.

Дано:

Амплитуда колебаний, $x_{max} = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Частота колебаний, $\nu = 196 \text{ Гц}$

Время, $t = 1 \text{ с}$

Найти:

а) $v_{max}$ - модуль максимальной скорости

б) $a_{max}$ - модуль максимального ускорения

в) $S$ - путь за время $t$

Решение:

Колебания точек струны будем считать гармоническими. Уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = x_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\omega$ – циклическая (угловая) частота. Она связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Вычислим циклическую частоту для данной задачи:

$\omega = 2\pi \cdot 196 \text{ Гц} = 392\pi \text{ рад/с}$

а) модуль максимальной скорости точек струны относительно неподвижного воздуха

Скорость точки является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = -x_{max}\omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

Модуль скорости будет максимальным, когда $|\sin(\omega t + \phi_0)| = 1$. Следовательно, формула для модуля максимальной скорости (амплитуды скорости) имеет вид:

$v_{max} = x_{max}\omega = x_{max} \cdot 2\pi\nu$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot 2\pi \cdot 196 \text{ Гц} = 0.784\pi \text{ м/с} \approx 2.46 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{max} \approx 2.46 \text{ м/с}$.

б) модуль максимального ускорения точек струны

Ускорение точки является второй производной от координаты по времени: $a(t) = v'(t) = -x_{max}\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$.

Модуль ускорения будет максимальным, когда $|\cos(\omega t + \phi_0)| = 1$. Таким образом, формула для модуля максимального ускорения (амплитуды ускорения):

$a_{max} = x_{max}\omega^2 = x_{max} \cdot (2\pi\nu)^2$

Подставим числовые значения:

$a_{max} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot (392\pi \text{ рад/с})^2 \approx 2 \cdot 10^{-3} \cdot 1516795 \text{ м/с}^2 \approx 3033 \text{ м/с}^2 \approx 3.03 \cdot 10^3 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_{max} \approx 3.03 \cdot 10^3 \text{ м/с}^2$.

в) путь, который относительно неподвижного воздуха прошла бы за одну секунду точка струны, амплитуда колебаний которой $x_{max}$, если бы затухание колебаний струны не происходило

За один полный период колебаний точка струны проходит путь, равный четырем амплитудам: $S_T = 4x_{max}$.

Количество полных колебаний $N$ за время $t$ определяется частотой: $N = \nu \cdot t$.

Следовательно, общий путь $S$, пройденный точкой за время $t$, равен:

$S = S_T \cdot N = 4x_{max} \cdot \nu \cdot t$

Подставим числовые значения:

$S = 4 \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot 196 \text{ Гц} \cdot 1 \text{ с} = 8 \cdot 10^{-3} \cdot 196 \text{ м} = 1.568 \text{ м}$

Ответ: $S = 1.568 \text{ м}$.