Номер 21, страница 13 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

21. На рисунке 6 представлены графики зависимости координаты грузов 1 и 2, подвешенных на пружинах и совершающих гармонические колебания с одинаковой частотой. Определите разность фаз колебаний грузов, если модуль этой разности $ |\Delta\varphi| < \pi $. Найдите начальный и конечный моменты промежутка времени, в течение которого грузы одновременно двигались вверх в направлении оси $ Oy $.

Рис. 6

Дано:

Графики зависимости координаты от времени $y(t)$ для двух грузов, совершающих гармонические колебания с одинаковой частотой.

Модуль разности фаз $|\Delta\phi| < \pi$.

Найти:

1. Разность фаз колебаний $\Delta\phi$.

2. Начальный $t_{нач}$ и конечный $t_{кон}$ моменты промежутка времени, в течение которого грузы одновременно двигались вверх.

Решение:

Определение разности фаз колебаний грузов

Уравнение гармонических колебаний имеет вид $y(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Из графика определим период колебаний $T$. Для обоих грузов он одинаков. Груз 2 (синий график) достигает максимального отклонения в моменты времени $t=0$ с и $t=6$ с. Следовательно, период колебаний $T = 6$ с.

Циклическая частота колебаний равна $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ рад/с.

Для груза 1 (черный график) в начальный момент времени $t=0$ координата $y_1=0$ и груз движется в положительном направлении оси $Oy$ (скорость положительна). Такое движение описывается функцией синуса с нулевой начальной фазой:

$y_1(t) = A_1 \sin(\omega t)$, отсюда начальная фаза $\phi_{01} = 0$.

Для груза 2 (синий график) в начальный момент времени $t=0$ координата $y_2$ максимальна. Такое движение описывается функцией косинуса:

$y_2(t) = A_2 \cos(\omega t)$.

Для нахождения разности фаз приведем оба уравнения к одной функции, например, к синусу, используя формулу приведения $\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$:

$y_2(t) = A_2 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$, отсюда начальная фаза $\phi_{02} = \frac{\pi}{2}$.

Разность фаз колебаний $\Delta\phi$ равна разности их начальных фаз:

$\Delta\phi = \phi_{02} - \phi_{01} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

Это значение удовлетворяет условию задачи $|\Delta\phi| = \frac{\pi}{2} < \pi$.

Ответ: Разность фаз колебаний грузов равна $\frac{\pi}{2}$ рад.

Определение начального и конечного моментов времени одновременного движения вверх

Движение груза вверх означает, что его скорость положительна ($v_y > 0$). На графике зависимости координаты от времени $y(t)$ этому соответствует интервал, на котором функция возрастает (тангенс угла наклона касательной к графику положителен).

Проанализируем графики:

1. Груз 1 (черный график) движется вверх (функция $y_1(t)$ возрастает) на интервалах от точки минимума до точки максимума. Из графика это интервалы $(0; 1,5)$ с и $(4,5; 7,5)$ с.

2. Груз 2 (синий график) движется вверх (функция $y_2(t)$ возрастает) на интервале от точки минимума ($t=3$ с) до точки максимума ($t=6$ с). Это интервал $(3; 6)$ с.

Найдем пересечение (общую часть) интервалов, на которых оба груза двигались вверх. Для этого сравним полученные интервалы:

$(0; 1,5) \cap (3; 6) = \emptyset$ (нет общего времени)

$(4,5; 7,5) \cap (3; 6) = (4,5; 6)$

Таким образом, оба груза одновременно двигались вверх в промежутке времени от $t_{нач} = 4,5$ с до $t_{кон} = 6$ с.

Ответ: Начальный момент времени $t_{нач}=4,5$ с, конечный момент времени $t_{кон}=6$ с.