Номер 43, страница 20 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

43. *Запишите кинематический закон гармонических колебаний груза, если модуль его максимального ускорения $a_{\text{max}} = 50 \frac{\text{см}}{\text{с}^2}$, период колебаний $T = 2 \text{ с}$, смещение груза от положения равновесия в начальный момент времени $x_0 = 2,5 \text{ см}$. Колебания совершаются по закону: $x(t) = A\sin(Bt + C)$, где $A, B, C$ — константы, причем $-\pi < C \le \pi$.

Дано:

$a_{max} = 50 \frac{см}{с^2}$

$T = 2 \text{ с}$

$x_0 = 2.5 \text{ см}$

Закон колебаний: $x(t) = A\sin(Bt + C)$

$-\pi < C \le \pi$

$a_{max} = 50 \frac{см}{с^2} = 0.5 \frac{м}{с^2}$
$x_0 = 2.5 \text{ см} = 0.025 \text{ м}$

Найти:

Кинематический закон колебаний $x(t)$.

Решение:

Кинематический закон гармонических колебаний задан в виде $x(t) = A\sin(Bt + C)$. Для нахождения закона необходимо определить константы: амплитуду $A$, циклическую (круговую) частоту $B$ и начальную фазу $C$.

1. Сначала найдем циклическую частоту $B$, которая связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$B = \omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставляя значение периода $T = 2$ с, получаем:

$B = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ рад/с}$

2. Далее определим амплитуду колебаний $A$. Ускорение при гармонических колебаниях является второй производной от координаты по времени: $a(t) = x''(t) = -AB^2\sin(Bt+C)$. Модуль максимального ускорения $a_{max}$ равен:

$a_{max} = A B^2$

Выразим из этой формулы амплитуду $A$:

$A = \frac{a_{max}}{B^2}$

Для удобства расчетов будем использовать данные в системе СГС (сантиметр, грамм, секунда), так как $a_{max}$ и $x_0$ даны в сантиметрах.

$A = \frac{50 \text{ см/с}^2}{(\pi \text{ рад/с})^2} = \frac{50}{\pi^2} \text{ см}$

В учебных физических задачах часто используют приближение $\pi^2 \approx 10$. Воспользуемся им для упрощения:

$A \approx \frac{50}{10} = 5 \text{ см}$

3. Теперь найдем начальную фазу $C$, используя начальное условие: в момент времени $t=0$ смещение груза $x(0) = x_0 = 2.5$ см.

$x_0 = A\sin(B \cdot 0 + C) = A\sin(C)$

Подставим известные значения $x_0$ и $A$:

$2.5 = 5 \sin(C)$

$\sin(C) = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$

В заданном интервале $-\pi < C \le \pi$ этому уравнению удовлетворяют два значения: $C_1 = \frac{\pi}{6}$ и $C_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Выбор между этими значениями зависит от знака начальной скорости $v_0$. Скорость $v(t) = x'(t) = AB\cos(Bt+C)$. При $C_1 = \frac{\pi}{6}$ косинус положителен, значит $v_0 > 0$. При $C_2 = \frac{5\pi}{6}$ косинус отрицателен, значит $v_0 < 0$. Поскольку в условии задачи нет информации о направлении начальной скорости, по соглашению выбирают наименьшее положительное значение фазы.

Таким образом, принимаем $C = \frac{\pi}{6}$ рад.

4. Запишем итоговый кинематический закон, подставив найденные значения $A=5$ см, $B=\pi$ рад/с и $C=\frac{\pi}{6}$ рад. Координата $x$ будет выражена в сантиметрах, а время $t$ — в секундах.

$x(t) = 5\sin(\pi t + \frac{\pi}{6})$

Ответ: $x(t) = 5\sin(\pi t + \frac{\pi}{6})$, где $x$ выражено в сантиметрах, $t$ — в секундах.