Номер 48, страница 21 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

48. Шарик, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания, описываемые уравнением $y(t) = y_{\text{max}}\cos(\omega t)$, где $\omega=\frac{\pi}{2} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Считая, что шарик пришел в движение в момент начала отсчета времени, определите промежуток времени, за который шарик пройдет путь, равный:

а) амплитуде колебаний;

б) трем амплитудам колебаний;

в) двум с половиной амплитудам колебаний.

Дано:

Уравнение колебаний: $y(t) = y_{max}\cos(\omega t)$
Циклическая частота: $\omega = \frac{\pi}{2}$ рад/с
Пройденный путь а): $S_a = y_{max}$
Пройденный путь б): $S_b = 3y_{max}$
Пройденный путь в): $S_c = 2.5y_{max}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$t_a$ - ?, $t_b$ - ?, $t_c$ - ?

Решение:

Уравнение гармонических колебаний $y(t) = y_{max}\cos(\omega t)$ показывает, что в начальный момент времени $t = 0$ смещение шарика от положения равновесия максимально и равно амплитуде $y(0) = y_{max}$. Это означает, что движение начинается из крайнего положения.

Найдем период колебаний $T$, зная циклическую частоту $\omega$:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ с.

При гармонических колебаниях путь, равный одной амплитуде $y_{max}$, тело проходит за четверть периода ($T/4$), двигаясь от крайнего положения до положения равновесия, или наоборот.
В нашем случае это время составляет: $\frac{T}{4} = \frac{4 \text{ с}}{4} = 1$ с.

а)

Чтобы пройти путь, равный одной амплитуде ($S_a = y_{max}$), шарику, начавшему движение из крайнего положения $y = y_{max}$, необходимо достичь положения равновесия $y = 0$. На это потребуется время, равное одной четверти периода.
$t_a = \frac{T}{4} = 1$ с.

Ответ: 1 с.

б)

Путь, равный трем амплитудам ($S_b = 3y_{max}$), представляет собой три последовательных перемещения на расстояние, равное амплитуде:
1. От $y = y_{max}$ до $y = 0$ (путь $y_{max}$, время $T/4$).
2. От $y = 0$ до $y = -y_{max}$ (путь $y_{max}$, время $T/4$).
3. От $y = -y_{max}$ до $y = 0$ (путь $y_{max}$, время $T/4$).
Общее время равно сумме этих интервалов:
$t_b = \frac{T}{4} + \frac{T}{4} + \frac{T}{4} = \frac{3T}{4} = 3 \cdot 1 \text{ с} = 3$ с.

Ответ: 3 с.

в)

Путь, равный двум с половиной амплитудам ($S_c = 2.5y_{max}$), можно разбить на два участка: путь $2y_{max}$ и путь $0.5y_{max}$.

Время, за которое шарик пройдет путь $2y_{max}$, соответствует перемещению из одного крайнего положения ($y=y_{max}$) в другое ($y=-y_{max}$). Это время равно половине периода:
$t_1 = \frac{T}{2} = \frac{4}{2} = 2$ с.

В момент времени $t_1 = 2$ с шарик находится в точке $y = -y_{max}$. Теперь ему нужно пройти оставшийся путь $0.5y_{max}$ в сторону положения равновесия. Его координата в конечной точке будет $y_c = -y_{max} + 0.5y_{max} = -0.5y_{max}$.

Найдем дополнительное время $\Delta t$, за которое шарик переместится из $y = -y_{max}$ в $y = -0.5y_{max}$. Сместив начало отсчета времени в точку $t_1=T/2$, движение можно описать как $y(t') = -y_{max}\cos(\omega t')$. Найдем время $\Delta t$, когда координата станет $y=-0.5y_{max}$:
$-0.5y_{max} = -y_{max}\cos(\omega \Delta t)$
$\cos(\omega \Delta t) = 0.5 \implies \omega \Delta t = \frac{\pi}{3}$
$\Delta t = \frac{\pi/3}{\omega} = \frac{\pi/3}{\pi/2} = \frac{2}{3}$ с.

Общее время движения равно сумме $t_1$ и $\Delta t$:
$t_c = t_1 + \Delta t = 2 \text{ с} + \frac{2}{3} \text{ с} = \frac{8}{3}$ с.

Ответ: $\frac{8}{3}$ с $\approx 2.67$ с.