Номер 50, страница 21 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

50. *Шарик совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox$. При смещении от положения равновесия на $x_1 = 4$ см его проекция скорости $v_{1x} = 6 \frac{\text{см}}{\text{с}}$, а при смещении на $x_2 = 3$ см его проекция скорости $v_{2x} = 8 \frac{\text{см}}{\text{с}}$. Определите циклическую частоту, амплитуду колебаний, модуль максимальной скорости колебаний шарика.

Дано:

$x_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$v_{1x} = 6 \frac{\text{см}}{\text{с}} = 0.06 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$x_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$v_{2x} = 8 \frac{\text{см}}{\text{с}} = 0.08 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$\omega - ?$

$A - ?$

$|v_{max}| - ?$

Решение:

Связь между скоростью $v$ и смещением $x$ от положения равновесия при гармонических колебаниях выражается формулой, следующей из закона сохранения энергии:

$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$

где $\omega$ — циклическая частота, $A$ — амплитуда колебаний.

Запишем это уравнение для двух заданных состояний движения шарика:

$\begin{cases} v_{1x}^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2) & (1) \\ v_{2x}^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2) & (2) \end{cases}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $\omega$ и $A$.

Циклическая частота

Для нахождения циклической частоты $\omega$ вычтем из второго уравнения системы первое:

$v_{2x}^2 - v_{1x}^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2) - \omega^2(A^2 - x_1^2)$

$v_{2x}^2 - v_{1x}^2 = \omega^2A^2 - \omega^2x_2^2 - \omega^2A^2 + \omega^2x_1^2$

$v_{2x}^2 - v_{1x}^2 = \omega^2(x_1^2 - x_2^2)$

Выразим отсюда квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{v_{2x}^2 - v_{1x}^2}{x_1^2 - x_2^2}$

Подставим числовые значения. Удобнее производить расчеты в см и см/с, так как единицы измерения сократятся:

$\omega^2 = \frac{(8 \frac{\text{см}}{\text{с}})^2 - (6 \frac{\text{см}}{\text{с}})^2}{(4 \text{ см})^2 - (3 \text{ см})^2} = \frac{64 - 36}{16 - 9} \frac{\text{с}^{-2} \cdot \text{см}^2}{\text{см}^2} = \frac{28}{7} \text{ с}^{-2} = 4 \text{ с}^{-2}$

Тогда циклическая частота равна:

$\omega = \sqrt{4 \text{ с}^{-2}} = 2 \text{ рад/с}$

Ответ: Циклическая частота $\omega = 2$ рад/с.

Амплитуда колебаний

Теперь найдем амплитуду $A$, выразив ее из первого уравнения системы (1):

$v_{1x}^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2) \implies \frac{v_{1x}^2}{\omega^2} = A^2 - x_1^2$

$A^2 = \frac{v_{1x}^2}{\omega^2} + x_1^2$

Подставим известные значения:

$A^2 = \frac{(6 \frac{\text{см}}{\text{с}})^2}{(2 \text{ с}^{-1})^2} + (4 \text{ см})^2 = \frac{36}{4} \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 = 9 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$

Амплитуда колебаний равна:

$A = \sqrt{25 \text{ см}^2} = 5 \text{ см}$

Ответ: Амплитуда колебаний $A = 5$ см.

Модуль максимальной скорости колебаний шарика

Максимальная скорость достигается при прохождении положения равновесия, то есть при $x=0$. Формула для максимальной скорости:

$|v_{max}| = \omega A$

Подставим найденные значения $\omega$ и $A$:

$|v_{max}| = 2 \frac{\text{рад}}{\text{с}} \cdot 5 \text{ см} = 10 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

В системе СИ: $|v_{max}| = 0.1$ м/с.

Ответ: Модуль максимальной скорости колебаний шарика $|v_{max}| = 10$ см/с.