Номер 57, страница 23 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

57. Однородную пружину разрезали на две части с отношением длин 1:2. К ее короткой части прикрепили груз массой $m$, а к длинной — груз массой $2m$. Во сколько раз различаются частоты колебаний полученных пружинных маятников?

Дано:

Отношение длин частей пружины: $L_1/L_2 = 1/2$

Масса груза на короткой части: $m_1 = m$

Масса груза на длинной части: $m_2 = 2m$

Найти:

Во сколько раз различаются частоты колебаний, то есть найти отношение $\nu_1 / \nu_2$ или $\nu_2 / \nu_1$.

Решение:

Пусть начальная длина однородной пружины равна $L$, а её коэффициент жесткости (жесткость) - $k$. Для однородной пружины жесткость обратно пропорциональна её длине, то есть произведение жесткости на длину есть величина постоянная: $k \cdot L = \text{const}$.

Пружину разрезали на две части с длинами $L_1$ и $L_2$ в отношении 1:2. Таким образом, общая длина $L = L_1 + L_2$. Учитывая, что $L_2 = 2L_1$, получаем $L = L_1 + 2L_1 = 3L_1$.

Отсюда находим длины каждой части:

$L_1 = \frac{1}{3}L$ (короткая часть)

$L_2 = \frac{2}{3}L$ (длинная часть)

Теперь определим жесткости $k_1$ и $k_2$ этих частей, используя соотношение $k \cdot L = k_1 \cdot L_1 = k_2 \cdot L_2$.

Жесткость короткой части:

$k_1 = k \frac{L}{L_1} = k \frac{L}{L/3} = 3k$

Жесткость длинной части:

$k_2 = k \frac{L}{L_2} = k \frac{L}{2L/3} = \frac{3}{2}k$

Частота колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Для первого маятника (короткая пружина и груз $m_1 = m$):

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1}{m_1}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k}{m}}$

Для второго маятника (длинная пружина и груз $m_2 = 2m$):

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_2}{m_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k/2}{2m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k}{4m}}$

Найдем отношение частот колебаний $\nu_1$ к $\nu_2$:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k}{m}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k}{4m}}} = \sqrt{\frac{3k/m}{3k/4m}} = \sqrt{\frac{3k}{m} \cdot \frac{4m}{3k}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, частота колебаний маятника на короткой пружине в 2 раза больше частоты колебаний маятника на длинной пружине.

Ответ: Частоты колебаний полученных пружинных маятников различаются в 2 раза.