Номер 61, страница 24 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

61. Стеклянный и деревянный однородные кубики, подвешенные на одинаковых пружинах, совершают гармонические колебания. Плотность стекла $\rho_c = 2,4 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, плотность древесины $\rho_д = 0,6 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$. Определите отношение частот колебаний кубиков, если ребро стеклянного кубика в четыре раза меньше ребра деревянного.

Дано:

Плотность стекла $ρ_с = 2,4 \frac{г}{см^3}$

Плотность древесины $ρ_д = 0,6 \frac{г}{см^3}$

Соотношение ребер кубиков $a_д = 4a_с$

Жесткости пружин одинаковы $k_с = k_д = k$

$ρ_с = 2,4 \frac{г}{см^3} = 2,4 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$ρ_д = 0,6 \frac{г}{см^3} = 0,6 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Отношение частот $\frac{f_с}{f_д}$

Решение:

Частота гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $k$ – жесткость пружины, а $m$ – масса тела.

Запишем формулы для частот колебаний стеклянного (индекс "с") и деревянного (индекс "д") кубиков:

$f_с = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_с}}$

$f_д = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_д}}$

Поскольку по условию кубики подвешены на одинаковых пружинах, их жесткости $k$ равны.

Найдем отношение частоты колебаний стеклянного кубика к частоте колебаний деревянного кубика, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{f_с}{f_д} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_с}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_д}}} = \sqrt{\frac{k}{m_с} \cdot \frac{m_д}{k}} = \sqrt{\frac{m_д}{m_с}}$

Масса тела определяется как произведение его плотности на объем ($m = \rho V$). Объем куба с ребром $a$ равен $V = a^3$.

Выразим массы стеклянного и деревянного кубиков:

$m_с = \rho_с V_с = \rho_с a_с^3$

$m_д = \rho_д V_д = \rho_д a_д^3$

Подставим выражения для масс в формулу отношения частот:

$\frac{f_с}{f_д} = \sqrt{\frac{\rho_д a_д^3}{\rho_с a_с^3}}$

Из условия задачи известно, что ребро стеклянного кубика в четыре раза меньше ребра деревянного, то есть $a_д = 4a_с$. Подставим это соотношение в полученное уравнение:

$\frac{f_с}{f_д} = \sqrt{\frac{\rho_д (4a_с)^3}{\rho_с a_с^3}} = \sqrt{\frac{\rho_д \cdot 64 a_с^3}{\rho_с a_с^3}} = \sqrt{\frac{64 \rho_д}{\rho_с}}$

Теперь подставим числовые значения плотностей и вычислим отношение:

$\frac{f_с}{f_д} = \sqrt{\frac{64 \cdot 0,6}{2,4}} = \sqrt{64 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{16} = 4$

Ответ: Отношение частоты колебаний стеклянного кубика к частоте колебаний деревянного кубика равно 4.