Номер 68, страница 26 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

68. *Ластик, привязанный к упругому жгуту жесткостью$k=10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$, совершает свободные гармонические колебания в вертикальном направлении с амплитудой$x_{\text{max}} = 40 \text{ мм}$. Определите массу ластика, если модуль его максимальной скорости $v_{\text{max}} = 80 \frac{\text{см}}{\text{с}}$.

Дано:

Жесткость жгута $k = 10 \frac{Н}{м}$

Амплитуда колебаний $x_{max} = 40 \text{ мм}$

Максимальная скорость $v_{max} = 80 \frac{см}{с}$

Переведем значения в систему СИ:

$x_{max} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

$v_{max} = 80 \cdot 10^{-2} \frac{м}{с} = 0.8 \frac{м}{с}$

Найти:

Массу ластика $m$

Решение:

Движение ластика на жгуте является свободным гармоническим колебанием. В такой системе максимальная скорость ($v_{max}$) связана с амплитудой колебаний ($x_{max}$) и циклической (угловой) частотой ($\omega$) следующим соотношением:

$v_{max} = \omega \cdot x_{max}$

Из этой формулы можно выразить циклическую частоту:

$\omega = \frac{v_{max}}{x_{max}}$

В то же время, циклическая частота для пружинного маятника (каковым является ластик на жгуте) определяется его массой $m$ и жесткостью жгута $k$:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Приравняем два полученных выражения для циклической частоты $\omega$:

$\frac{v_{max}}{x_{max}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Чтобы найти массу $m$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{v_{max}}{x_{max}})^2 = \frac{k}{m}$

$\frac{v_{max}^2}{x_{max}^2} = \frac{k}{m}$

Теперь выразим массу $m$ из полученного равенства:

$m = k \cdot \frac{x_{max}^2}{v_{max}^2}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу, используя данные в системе СИ:

$m = 10 \frac{Н}{м} \cdot \frac{(0.04 \text{ м})^2}{(0.8 \frac{м}{с})^2} = 10 \cdot \frac{0.0016}{0.64} = 10 \cdot \frac{16}{6400} = 10 \cdot \frac{1}{400} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40} \text{ кг} = 0.025 \text{ кг}$

Ответ: $0.025 \text{ кг}$.