Номер 70, страница 26 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

70. *На гладкой горизонтальной плоскости находится груз массой $m = 160 \text{ г}$, прикрепленный к свободному концу пружины, второй конец которой закреплен (рис. 17). Жесткость пружины $k = 80 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Груз совершает свободные гармонические колебания с амплитудой $x_{\text{max}} = 40 \text{ мм}$. Определите модуль максимального ускорения груза.

Рис. 17

Дано

$m = 160 \text{ г} = 0.16 \text{ кг}$
$k = 80 \text{ Н/м}$
$x_{\text{max}} = 40 \text{ мм} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$a_{\text{max}}$ - ?

Решение

Груз совершает гармонические колебания под действием силы упругости пружины. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила, приложенная к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $F = ma$.

В данном случае единственной силой, действующей на груз в горизонтальном направлении (поскольку плоскость гладкая), является сила упругости пружины, которая описывается законом Гука: $F_{\text{упр}} = -kx$, где $x$ — смещение груза от положения равновесия.

Приравняем эти два выражения для силы:

$ma = -kx$

Отсюда выразим ускорение груза:

$a = -\frac{k}{m}x$

Из этого уравнения видно, что модуль ускорения $|a|$ прямо пропорционален модулю смещения $|x|$. Следовательно, ускорение будет максимальным по модулю, когда смещение максимально. Максимальное смещение при колебаниях — это амплитуда $x_{\text{max}}$.

Таким образом, модуль максимального ускорения можно найти по формуле:

$a_{\text{max}} = \frac{k}{m}x_{\text{max}}$

Подставим числовые значения из условия задачи, предварительно переведенные в систему СИ:

$a_{\text{max}} = \frac{80 \text{ Н/м}}{0.16 \text{ кг}} \cdot 0.04 \text{ м} = 500 \text{ м/с}^2 \cdot 0.04 \text{ м} = 20 \text{ м/с}^2$

Ответ: модуль максимального ускорения груза равен $20 \text{ м/с}^2$.