Номер 72, страница 27 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

72. Однородный чугунный груз, подвешенный к упругой пружине жесткостью $k=20 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$, совершает свободные гармонические колебания вдоль вертикальной оси. Путь $s = 48 \text{ мм}$ от крайнего верхнего до крайнего нижнего положения груз проходит за промежуток времени $\Delta t = 0,28 \text{ с}$. Определите:

а) число колебаний за промежуток времени $\Delta t_1 = 42 \text{ с}$;

б) объем груза;

в) *модули максимальной скорости и максимального ускорения груза.

Дано:

$k = 20 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$s = 48 \text{ мм} = 0.048 \text{ м}$

$\Delta t = 0.28 \text{ с}$

$\Delta t_1 = 42 \text{ с}$

$\rho_{\text{чугуна}} = 7200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (справочное значение плотности чугуна)

Найти:

а) $N - ?$

б) $V - ?$

в) $v_{\text{max}} - ?, a_{\text{max}} - ?$

Решение:

Сначала определим основные характеристики гармонических колебаний: амплитуду и период.

Путь $s$ от крайнего верхнего до крайнего нижнего положения равен удвоенной амплитуде колебаний $A$.

$s = 2A \implies A = \frac{s}{2} = \frac{0.048 \text{ м}}{2} = 0.024 \text{ м}$.

Время $\Delta t$, за которое груз проходит этот путь, равно половине периода колебаний $T$.

$\Delta t = \frac{T}{2} \implies T = 2\Delta t = 2 \times 0.28 \text{ с} = 0.56 \text{ с}$.

Теперь можем ответить на вопросы задачи.

а) Число колебаний $N$ за промежуток времени $\Delta t_1$ можно найти, разделив это время на период одного колебания $T$.

$N = \frac{\Delta t_1}{T} = \frac{42 \text{ с}}{0.56 \text{ с}} = 75$.

Ответ: число колебаний за 42 с равно 75.

б) Чтобы найти объем груза $V$, нам нужно знать его массу $m$. Массу можно определить из формулы периода колебаний пружинного маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Выразим массу $m$ из этой формулы:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \implies m = \frac{k T^2}{4\pi^2}$

Подставим известные значения:

$m = \frac{20 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \times (0.56 \text{ с})^2}{4\pi^2} \approx \frac{20 \times 0.3136}{39.48} \approx 0.159 \text{ кг}$.

Объем груза связан с его массой и плотностью $\rho_{\text{чугуна}}$ соотношением:

$V = \frac{m}{\rho_{\text{чугуна}}} = \frac{0.159 \text{ кг}}{7200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 2.2 \times 10^{-5} \text{ м}^3$.

Ответ: объем груза примерно равен $2.2 \times 10^{-5} \text{ м}^3$ (или 22 см³).

в) Модули максимальной скорости и максимального ускорения при гармонических колебаниях определяются по формулам:

$v_{\text{max}} = A \omega$

$a_{\text{max}} = A \omega^2$

где $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний. Найдем ее через период:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.56 \text{ с}} \approx 11.22 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.

Теперь вычислим максимальную скорость:

$v_{\text{max}} = 0.024 \text{ м} \times 11.22 \frac{\text{рад}}{\text{с}} \approx 0.27 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

И максимальное ускорение:

$a_{\text{max}} = 0.024 \text{ м} \times (11.22 \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2 \approx 0.024 \text{ м} \times 125.89 \frac{\text{рад}^2}{\text{с}^2} \approx 3.0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Ответ: модуль максимальной скорости равен 0.27 м/с, а модуль максимального ускорения равен 3.0 м/с².