Номер 78, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

78. *Брусок массой $m_1 = 246$ г, лежащий на гладком полу, соединен со стеной пружиной, ось которой горизонтальна. В брусок попадает дробинка массой $m_2 = 4$ г, летящая вдоль оси пружины со скоростью, модуль которой $v_0 = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Брусок вместе с застрявшей в нем дробинкой начинает колебаться с амплитудой $x_{\text{max}} = 8$ см. Определите циклическую частоту свободных гармонических колебаний.

$m_1 = 246 \text{ г}$
$m_2 = 4 \text{ г}$
$v_0 = 25 \text{ м/с}$
$x_{max} = 8 \text{ см}$

$m_1 = 0.246 \text{ кг}$
$m_2 = 0.004 \text{ кг}$
$x_{max} = 0.08 \text{ м}$

$\omega$

Разобьем решение задачи на два этапа: абсолютно неупругое столкновение дробинки с бруском и последующие гармонические колебания.

1. На этапе столкновения, так как оно происходит на гладкой горизонтальной поверхности за очень короткий промежуток времени, можно пренебречь действием внешних горизонтальных сил (силы упругости пружины). В этом случае для системы "дробинка + брусок" выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до столкновения равен импульсу дробинки, так как брусок покоился: $p_{до} = m_2 v_0$.

После столкновения дробинка застревает в бруске, и они начинают двигаться как единое целое с массой $M = m_1 + m_2$ и скоростью $v$. Импульс системы после столкновения: $p_{после} = (m_1 + m_2) v$.

Согласно закону сохранения импульса: $m_2 v_0 = (m_1 + m_2) v$

Отсюда находим скорость системы $v$ сразу после удара: $v = \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в системе СИ: $v = \frac{0.004 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с}}{0.246 \text{ кг} + 0.004 \text{ кг}} = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.250 \text{ кг}} = 0.4 \text{ м/с}$

2. После столкновения система "брусок + дробинка" начинает совершать гармонические колебания. Удар происходит в положении равновесия ($x=0$), когда пружина не деформирована. В этом положении кинетическая энергия системы максимальна, а значит, скорость $v$, полученная системой сразу после удара, является максимальной скоростью в процессе колебаний, то есть $v_{max} = v$.

Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой $x_{max}$ и циклической частотой $\omega$ соотношением: $v_{max} = \omega \cdot x_{max}$

Из этой формулы выразим искомую циклическую частоту: $\omega = \frac{v_{max}}{x_{max}}$

Подставим известные значения: $\omega = \frac{0.4 \text{ м/с}}{0.08 \text{ м}} = 5 \text{ с}^{-1}$

Циклическая частота свободных гармонических колебаний равна $5 \text{ с}^{-1}$.