Номер 81, страница 29 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

81. Цилиндр находится в вертикальном положении на границе раздела двух жидкостей и делится этой границей на две равные части. Длина цилиндра $l$. Плотность нижней жидкости $\rho_1$, верхней — $\rho_2$. Цилиндр немного сместили по вертикали вниз и отпустили. Не учитывая силу сопротивления жидкости, найдите период малых вертикальных колебаний цилиндра.

Дано:

Длина цилиндра: $l$

Плотность нижней жидкости: $\rho_1$

Плотность верхней жидкости: $\rho_2$

Глубина погружения в каждую жидкость в положении равновесия: $l/2$

Найти:

Период малых вертикальных колебаний $T$.

Решение:

Пусть $S$ - площадь поперечного сечения цилиндра, а $\rho$ - его плотность. В положении равновесия сила тяжести, действующая на цилиндр, уравновешивается суммарной выталкивающей силой (силой Архимеда) со стороны двух жидкостей.

Сила тяжести: $F_g = mg = \rho V g = \rho S l g$.

Выталкивающая сила в положении равновесия: $F_A = F_{A1} + F_{A2}$.

Так как цилиндр погружен в каждую жидкость на половину своей длины $l/2$, объемы погруженных частей равны $V_1 = V_2 = S \frac{l}{2}$.

Тогда $F_A = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2 = \rho_1 g S \frac{l}{2} + \rho_2 g S \frac{l}{2}$.

Из условия равновесия $F_g = F_A$:

$\rho S l g = (\rho_1 + \rho_2) g S \frac{l}{2}$

Отсюда находим плотность цилиндра:

$\rho = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$

Теперь сместим цилиндр из положения равновесия вертикально вниз на малую величину $x$. Ось $Ox$ направим вертикально вниз, а начало отсчета поместим в положение равновесия.

В этом новом положении длина части цилиндра, погруженной в нижнюю жидкость (с плотностью $\rho_1$), станет равной $\frac{l}{2} + x$, а длина части, погруженной в верхнюю жидкость (с плотностью $\rho_2$), станет $\frac{l}{2} - x$.

Новая выталкивающая сила $F'_A$ будет равна:

$F'_A = \rho_1 g S (\frac{l}{2} + x) + \rho_2 g S (\frac{l}{2} - x)$

Результирующая (возвращающая) сила, действующая на цилиндр, равна:

$F_{возвр} = F_g - F'_A$

$F_{возвр} = \rho S l g - [\rho_1 g S (\frac{l}{2} + x) + \rho_2 g S (\frac{l}{2} - x)]$

Подставим выражение для $\rho S l g$ из условия равновесия:

$F_{возвр} = (\rho_1 g S \frac{l}{2} + \rho_2 g S \frac{l}{2}) - (\rho_1 g S \frac{l}{2} + \rho_1 g S x + \rho_2 g S \frac{l}{2} - \rho_2 g S x)$

$F_{возвр} = - \rho_1 g S x + \rho_2 g S x = -(\rho_1 - \rho_2) g S x$

Это уравнение описывает гармонические колебания вида $F = -kx$, где коэффициент жесткости (возвращающей силы) $k = (\rho_1 - \rho_2) g S$. Для того чтобы колебания были устойчивыми, необходимо, чтобы $k>0$, то есть $\rho_1 > \rho_2$, что физически очевидно (более плотная жидкость находится внизу).

Период гармонических колебаний определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Масса цилиндра $m = \rho S l$. Подставив найденное значение $\rho$, получаем:

$m = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} S l$

Теперь подставим выражения для $m$ и $k$ в формулу для периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{(\rho_1 + \rho_2)}{2} S l}{(\rho_1 - \rho_2) g S}}$

Сократив площадь поперечного сечения $S$, получаем окончательное выражение для периода малых вертикальных колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{(\rho_1 + \rho_2)l}{2g(\rho_1 - \rho_2)}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{(\rho_1 + \rho_2)l}{2g(\rho_1 - \rho_2)}}$