Номер 85, страница 30 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

85. На рисунке 20 показаны три математических маятника. Определите период колебаний первого и второго маятников, если период колебаний третьего маятника

$T_3 = 1,8 \text{ с.}$

Рис. 20

Дано:

Период колебаний третьего маятника $T_3 = 1,8$ c.

Из рисунка, принимая длину одной клетки за условную единицу длины, определим длины маятников:

Длина первого маятника $L_1 = 6$ условных единиц.

Длина второго маятника $L_2 = 4$ условные единицы.

Длина третьего маятника $L_3 = 9$ условных единиц.

Найти:

$T_1$ — ?

$T_2$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

где $L$ — длина нити маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Поскольку $2\pi$ и $g$ являются постоянными величинами, период колебаний маятника зависит только от его длины и пропорционален квадратному корню из длины: $T \propto \sqrt{L}$.

Это позволяет нам записать соотношение для периодов и длин двух разных маятников:

$\frac{T_i}{T_j} = \sqrt{\frac{L_i}{L_j}}$

Используем это соотношение, чтобы найти периоды первого и второго маятников, зная данные для третьего.

Период колебаний первого маятника

Составим пропорцию для первого и третьего маятников:

$\frac{T_1}{T_3} = \sqrt{\frac{L_1}{L_3}}$

Выразим из нее искомый период $T_1$:

$T_1 = T_3 \cdot \sqrt{\frac{L_1}{L_3}}$

Подставим числовые значения длин и периода $T_3$:

$T_1 = 1,8 \cdot \sqrt{\frac{6}{9}} = 1,8 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 1,8 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0,6\sqrt{6}$ с

Вычислим приближенное значение:

$T_1 \approx 0,6 \cdot 2,449 \approx 1,47$ с

Ответ: период колебаний первого маятника $T_1 \approx 1,47$ с.

Период колебаний второго маятника

Составим пропорцию для второго и третьего маятников:

$\frac{T_2}{T_3} = \sqrt{\frac{L_2}{L_3}}$

Выразим из нее искомый период $T_2$:

$T_2 = T_3 \cdot \sqrt{\frac{L_2}{L_3}}$

Подставим числовые значения длин и периода $T_3$:

$T_2 = 1,8 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} = 1,8 \cdot \frac{2}{3} = 1,2$ с

Ответ: период колебаний второго маятника $T_2 = 1,2$ с.