Номер 90, страница 31 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

90. Пружинный и математический маятники совершают свободные гармонические колебания с одинаковым периодом. Определите массу груза пружинного маятника, если жесткость пружины $k=10 \frac{\text{Н}}{\text{М}}$, а длина математического маятника $l = 50 \text{ см}$.

Дано:

Жесткость пружины $k = 10 \frac{Н}{м}$

Длина математического маятника $l = 50 \text{ см}$

Периоды колебаний маятников равны ($T_п = T_м$)

Перевод в систему СИ:

$l = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Массу груза пружинного маятника $m$.

Решение:

Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T_п = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Период свободных гармонических колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T_м = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

В этих формулах $m$ — масса груза, $k$ — жесткость пружины, $l$ — длина математического маятника, а $g$ — ускорение свободного падения. Для удобства расчетов примем значение $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

По условию задачи периоды колебаний равны ($T_п = T_м$), следовательно, мы можем приравнять правые части формул для периодов:

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$ и возведем в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

$\frac{m}{k} = \frac{l}{g}$

Из полученного равенства выразим искомую массу груза $m$:

$m = \frac{k \cdot l}{g}$

Теперь подставим числовые значения в выведенную формулу:

$m = \frac{10 \frac{Н}{м} \cdot 0.5 \text{ м}}{10 \frac{м}{с^2}} = \frac{5}{10} \text{ кг} = 0.5 \text{ кг}$

Ответ: масса груза пружинного маятника равна $0.5$ кг.