Номер 93, страница 32 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

93. Два математических маятника совершают свободные гармонические колебания. За одинаковое время один математический маятник совершил $N_1 = 50$ колебаний, а второй — $N_2 = 25$ колебаний. Найдите длины маятников, если один из них короче другого на $\Delta l = 33 \text{ см.}$

Дано:

$N_1 = 50$

$N_2 = 25$

$\Delta l = 33 \text{ см}$

$t_1 = t_2 = t$

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 0.33 \text{ м}$

Найти:

$l_1 - ?$, $l_2 - ?$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, $g$ – ускорение свободного падения.

Для двух маятников можно записать:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$ и $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Период также можно выразить через число колебаний $N$ за время $t$:

$T = \frac{t}{N}$

Поскольку маятники совершают колебания за одинаковое время $t$, то $t = N_1 T_1 = N_2 T_2$.

Отсюда найдем отношение периодов:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1}$

С другой стороны, отношение периодов из формулы для математического маятника:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Приравняем правые части полученных выражений:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{N_2}{N_1}$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{l_1}{l_2} = (\frac{N_2}{N_1})^2$

Первый маятник совершил больше колебаний ($N_1 > N_2$) за то же время, значит, его период колебаний меньше ($T_1 < T_2$). Так как период прямо пропорционален корню из длины, то и длина первого маятника меньше: $l_1 < l_2$.

По условию, один маятник короче другого на $\Delta l$, следовательно:

$l_2 - l_1 = \Delta l \implies l_2 = l_1 + \Delta l$

Подставим это выражение в соотношение для длин:

$\frac{l_1}{l_1 + \Delta l} = (\frac{N_2}{N_1})^2$

Выразим $l_1$:

$l_1 = (l_1 + \Delta l)(\frac{N_2}{N_1})^2$

$l_1 = l_1(\frac{N_2}{N_1})^2 + \Delta l(\frac{N_2}{N_1})^2$

$l_1 - l_1(\frac{N_2}{N_1})^2 = \Delta l(\frac{N_2}{N_1})^2$

$l_1(1 - (\frac{N_2}{N_1})^2) = \Delta l(\frac{N_2}{N_1})^2$

$l_1 = \frac{\Delta l(\frac{N_2}{N_1})^2}{1 - (\frac{N_2}{N_1})^2}$

Подставим числовые значения:

$l_1 = \frac{0.33 \cdot (\frac{25}{50})^2}{1 - (\frac{25}{50})^2} = \frac{0.33 \cdot (\frac{1}{2})^2}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{0.33 \cdot \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{0.33 \cdot 0.25}{0.75} = \frac{0.33}{3} = 0.11 \text{ м}$

Теперь найдем длину второго маятника:

$l_2 = l_1 + \Delta l = 0.11 \text{ м} + 0.33 \text{ м} = 0.44 \text{ м}$

Переведем длины в сантиметры:

$l_1 = 11 \text{ см}$

$l_2 = 44 \text{ см}$

Ответ: длины маятников равны 11 см и 44 см.