Номер 80, страница 29 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

80. В воде плавает в вертикальном положении деревянный цилиндр. Цилиндр немного глубже погрузили в воду и отпустили. После этого он начал колебаться с амплитудой $x_{\text{max}} = 1,0 \text{ см}$. Определите площадь основания цилиндра, если его максимальная кинетическая энергия $(W_{\text{к}})_{\text{max}} = 2,4 \text{ мДж.}$ Сопротивлением воды пренебречь.

Дано:

Амплитуда колебаний, $x_{max} = 1,0 \text{ см}$

Максимальная кинетическая энергия, $(W_к)_{max} = 2,4 \text{ мДж}$

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (примем стандартное значение для упрощения расчетов)

Перевод в систему СИ:

$x_{max} = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$(W_к)_{max} = 2,4 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

$S$ - ?

Решение:

Когда цилиндр смещают из положения равновесия на малую глубину $x$, объем его погруженной части увеличивается на $\Delta V = S \cdot x$, где $S$ — площадь основания цилиндра. Это приводит к возникновению дополнительной выталкивающей силы (силы Архимеда), которая стремится вернуть цилиндр в положение равновесия. Эта возвращающая сила равна:

$F_{возвр} = \rho_в g \Delta V = \rho_в g S x$

Поскольку возвращающая сила пропорциональна смещению $x$, движение цилиндра представляет собой гармонические колебания. Уравнение для возвращающей силы имеет вид, аналогичный закону Гука $F = kx$, где роль коэффициента жесткости $k$ выполняет величина:

$k = \rho_в g S$

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется (так как сопротивлением воды пренебрегаем). Максимальная кинетическая энергия, достигаемая в положении равновесия, равна максимальной потенциальной энергии, достигаемой при максимальном отклонении (амплитуде):

$(W_к)_{max} = (W_п)_{max}$

Максимальная потенциальная энергия колебательной системы выражается формулой:

$(W_п)_{max} = \frac{k x_{max}^2}{2}$

Приравнивая максимальную кинетическую и потенциальную энергии и подставляя выражение для коэффициента жесткости $k$, получаем:

$(W_к)_{max} = \frac{(\rho_в g S) x_{max}^2}{2}$

Из этого соотношения выразим искомую площадь основания цилиндра $S$:

$S = \frac{2 (W_к)_{max}}{\rho_в g x_{max}^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$S = \frac{2 \cdot 2,4 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} = \frac{4,8 \cdot 10^{-3}}{10^3 \cdot 10 \cdot 10^{-4}} = \frac{4,8 \cdot 10^{-3}}{1} = 4,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Для удобства можно перевести полученное значение в квадратные сантиметры, зная, что $1 \text{ м}^2 = 10^4 \text{ см}^2$:

$S = 4,8 \cdot 10^{-3} \cdot 10^4 \text{ см}^2 = 48 \text{ см}^2$

Ответ: площадь основания цилиндра равна $4,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$ (или $48 \text{ см}^2$).