Номер 76, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

76. К деревянному бруску массой $m = 810 \text{ г}$ прикреплена невесомая горизонтальная пружина жесткостью $k=9,00 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Брусок скользит по гладкой горизонтальной плоскости (пружина находится впереди бруска) и сталкивается по нормали с вертикальной стеной. Определите промежуток времени, в течение которого пружина будет касаться стены.

Дано:

Масса бруска, $m = 810 \text{ г} = 0,810 \text{ кг}$

Жесткость пружины, $k = 9,00 \text{ Н/м}$

Найти:

Промежуток времени контакта пружины со стеной, $\Delta t$.

Решение:

Момент, когда пружина касается стены, можно принять за начало отсчета времени ($t=0$). С этого момента пружина начинает сжиматься. Движение бруска, пока пружина находится в контакте со стеной, представляет собой часть гармонического колебания. Сила, действующая на брусок со стороны пружины, подчиняется закону Гука: $F = -kx$. Согласно второму закону Ньютона, $ma = -kx$, что является уравнением гармонических колебаний.

Процесс контакта со стеной включает в себя сжатие пружины до полной остановки бруска и последующее ее расширение до первоначальной недеформированной длины, после чего пружина теряет контакт со стеной. Этот процесс в точности соответствует половине периода полного гармонического колебания.

Период свободных колебаний для системы "груз-пружина" вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ – масса бруска, а $k$ – жесткость пружины.

Таким образом, время контакта пружины со стеной $\Delta t$ равно половине периода:

$\Delta t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Важно отметить, что время контакта не зависит от начальной скорости бруска.

Подставим данные из условия задачи в систему СИ:

$\Delta t = \pi\sqrt{\frac{0,810 \text{ кг}}{9,00 \text{ Н/м}}} = \pi\sqrt{0,09 \text{ с}^2} = \pi \cdot 0,3 \text{ с}$

Вычислим числовое значение, используя $\pi \approx 3,14159$:

$\Delta t \approx 0,3 \cdot 3,14159 \text{ с} \approx 0,942477 \text{ с}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как исходные данные приведены с такой же точностью.

$\Delta t \approx 0,942 \text{ с}$

Ответ: промежуток времени, в течение которого пружина будет касаться стены, составляет приблизительно $0,942$ с.