Номер 73, страница 27 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

73. *Неподвижный груз массой $m = 100 \text{ г}$, подвешенный на пружине, растягивает ее на $\Delta l = 10 \text{ см}$. Груз сместили вертикально вниз на $x_{\max} = 10 \text{ см}$ и отпустили. Определите максимальную кинетическую энергию и модуль максимального импульса груза во время свободных гармонических колебаний.

Дано:

$m = 100 \text{ г}$

$\Delta l = 10 \text{ см}$

$x_{\text{max}} = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.1 \text{ кг}$

$\Delta l = 0.1 \text{ м}$

$x_{\text{max}} = A = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$E_{k, \text{max}} - ?$

$p_{\text{max}} - ?$

Решение:

Сначала определим коэффициент жесткости пружины $k$. Когда груз висит на пружине в состоянии покоя, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$.

По закону Гука: $F_{упр} = k \Delta l$

Сила тяжести: $F_{тяж} = mg$

В положении равновесия $F_{упр} = F_{тяж}$, следовательно, $k \Delta l = mg$.

Отсюда находим жесткость пружины (примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$):

$k = \frac{mg}{\Delta l} = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.1 \text{ м}} = 10 \text{ Н/м}$

Груз сместили из положения равновесия на $x_{\text{max}}$ и отпустили. Это означает, что $x_{\text{max}}$ является амплитудой колебаний $A$. Таким образом, $A = 0.1 \text{ м}$.

максимальная кинетическая энергия

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется. Максимальная кинетическая энергия $E_{k, \text{max}}$ достигается в момент прохождения грузом положения равновесия. В этот момент потенциальная энергия деформации пружины (относительно положения равновесия) равна нулю. По закону сохранения энергии, максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии, которая запасается в пружине при максимальном отклонении от положения равновесия, то есть при $x = A$.

$E_{k, \text{max}} = E_{p, \text{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$E_{k, \text{max}} = \frac{10 \text{ Н/м} \cdot (0.1 \text{ м})^2}{2} = \frac{10 \cdot 0.01}{2} = 0.05 \text{ Дж}$

Ответ: максимальная кинетическая энергия равна $0.05 \text{ Дж}$.

модуль максимального импульса

Импульс тела определяется как $p = mv$. Максимальный импульс $p_{\text{max}}$ достигается при максимальной скорости $v_{\text{max}}$. Максимальная скорость, в свою очередь, достигается при прохождении положения равновесия, где кинетическая энергия максимальна.

Из формулы для максимальной кинетической энергии найдем максимальную скорость:

$E_{k, \text{max}} = \frac{mv_{\text{max}}^2}{2} \Rightarrow v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2E_{k, \text{max}}}{m}}$

$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.05 \text{ Дж}}{0.1 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0.1}{0.1}} = \sqrt{1} = 1 \text{ м/с}$

Теперь можем рассчитать модуль максимального импульса:

$p_{\text{max}} = m v_{\text{max}} = 0.1 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} = 0.1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: модуль максимального импульса равен $0.1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.