Номер 66, страница 26 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

66. Шарик, подвешенный на пружине жесткостью $k = 25 \frac{\text{Н}}{\text{М}}$, совершает свободные гармонические колебания в вертикальном направлении. Определите массу шарика, если $N = 25$ колебаний шарик совершил за промежуток времени $\Delta t = 16 \text{ с.}$

Дано:

Жесткость пружины, $k = 25 \, \text{Н/м}$

Число колебаний, $N = 25$

Промежуток времени, $\Delta t = 16 \, \text{с}$

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Массу шарика, $m$

Решение:

Период $T$ свободных гармонических колебаний можно найти, зная число колебаний $N$, совершенных за промежуток времени $\Delta t$.

$T = \frac{\Delta t}{N}$

С другой стороны, период колебаний пружинного маятника связан с массой груза $m$ и жесткостью пружины $k$ по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Приравняем правые части этих двух формул, так как они описывают один и тот же период колебаний:

$\frac{\Delta t}{N} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Чтобы найти массу шарика $m$, выразим ее из этого уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат:

$(\frac{\Delta t}{N})^2 = (2\pi\sqrt{\frac{m}{k}})^2$

$\frac{(\Delta t)^2}{N^2} = 4\pi^2\frac{m}{k}$

Теперь выразим массу $m$:

$m = \frac{k \cdot (\Delta t)^2}{4\pi^2 \cdot N^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$m = \frac{25 \, \text{Н/м} \cdot (16 \, \text{с})^2}{4\pi^2 \cdot 25^2} = \frac{25 \cdot 256}{4\pi^2 \cdot 625} = \frac{256}{4\pi^2 \cdot 25} = \frac{256}{100\pi^2} = \frac{2.56}{\pi^2}$

Произведем вычисления, используя приближенное значение $\pi^2 \approx 9.87$:

$m \approx \frac{2.56}{9.87} \approx 0.259 \, \text{кг}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$m \approx 0.26 \, \text{кг}$

Ответ: масса шарика составляет приблизительно 0.26 кг.