Номер 65, страница 25 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

65. *К жгуту и пружине подвешены одинаковые грузы, которые совершают свободные гармонические колебания в вертикальном направлении с одинаковой максимальной скоростью. Определите отношение амплитуд колебаний, если отношение жесткости жгута к жесткости пружины $ \frac{k_{\text{ж}}}{k_{\text{п}}} = 4. $

Дано:

$m_ж = m_п = m$

$v_{max, ж} = v_{max, п} = v_{max}$

$\frac{k_ж}{k_п} = 4$

Найти:

$\frac{A_ж}{A_п}$ - ?

Решение:

Свободные гармонические колебания описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая (угловая) частота, $t$ - время, $\phi_0$ - начальная фаза.

Скорость тела при гармонических колебаниях является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) достигается, когда $|\sin(\omega t + \phi_0)| = 1$. Таким образом, максимальная скорость $v_{max}$ связана с амплитудой колебаний $A$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$v_{max} = A\omega$

Запишем это выражение для груза на жгуте (индекс "ж") и груза на пружине (индекс "п"):

$v_{max, ж} = A_ж \omega_ж$

$v_{max, п} = A_п \omega_п$

По условию задачи, максимальные скорости грузов одинаковы, следовательно:

$A_ж \omega_ж = A_п \omega_п$

Из этого равенства выразим искомое отношение амплитуд:

$\frac{A_ж}{A_п} = \frac{\omega_п}{\omega_ж}$

Циклическая частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, где $k$ - жесткость, а $m$ - масса груза.

Подставим выражения для частот в наше соотношение. Поскольку массы грузов одинаковы ($m_ж = m_п = m$), получаем:

$\frac{A_ж}{A_п} = \frac{\sqrt{\frac{k_п}{m_п}}}{\sqrt{\frac{k_ж}{m_ж}}} = \frac{\sqrt{\frac{k_п}{m}}}{\sqrt{\frac{k_ж}{m}}} = \sqrt{\frac{k_п}{k_ж}}$

Из условия задачи известно, что $\frac{k_ж}{k_п} = 4$, следовательно, обратное отношение $\frac{k_п}{k_ж} = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в формулу для отношения амплитуд:

$\frac{A_ж}{A_п} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: отношение амплитуды колебаний груза на жгуте к амплитуде колебаний груза на пружине равно 0.5.