Номер 60, страница 24 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

60. Однородный алюминиевый шарик, подвешенный к пружине, совершает гармонические колебания. Во сколько раз увеличится период колебаний, если к пружине подвесить вместо алюминиевого однородный медный шарик такого же объема?

Дано:

Первый шарик - алюминиевый (индекс 1).

Второй шарик - медный (индекс 2).

Объем шариков одинаков: $V_1 = V_2 = V$.

Жесткость пружины: $k$.

Плотность алюминия (справочная величина): $\rho_1 = 2700 \, \text{кг/м}^3$.

Плотность меди (справочная величина): $\rho_2 = 8900 \, \text{кг/м}^3$.

Найти:

Отношение периода колебаний медного шарика к периоду колебаний алюминиевого шарика: $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ — масса тела, подвешенного к пружине, а $k$ — жесткость пружины.

В первом случае к пружине подвешен алюминиевый шарик массой $m_1$. Период его колебаний равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

Во втором случае к той же пружине подвешен медный шарик массой $m_2$. Период его колебаний равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

Поскольку пружина не менялась, ее жесткость $k$ в обоих случаях одинакова.

Чтобы найти, во сколько раз увеличится период, необходимо найти отношение $T_2$ к $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}} = \sqrt{\frac{m_2}{k} \cdot \frac{k}{m_1}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Массу однородного шарика можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $V$ по формуле $m = \rho \cdot V$.

Масса алюминиевого шарика: $m_1 = \rho_1 \cdot V$.

Масса медного шарика: $m_2 = \rho_2 \cdot V$.

По условию задачи, объемы шариков равны. Подставим выражения для масс в формулу для отношения периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{\rho_2 \cdot V}{\rho_1 \cdot V}} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$

Таким образом, отношение периодов зависит только от отношения плотностей материалов, из которых сделаны шарики.

Подставим табличные значения плотностей алюминия ($\rho_1$) и меди ($\rho_2$):

$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{8900 \, \text{кг/м}^3}{2700 \, \text{кг/м}^3}} = \sqrt{\frac{89}{27}} \approx \sqrt{3.296...} \approx 1.816$

Округлим результат до сотых, получим 1.82.

Ответ:

Период колебаний увеличится примерно в 1,82 раза.