Номер 75, страница 27 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

75. Ртуть массой $m = 40,8$ г, находящуюся в U-образном ртутном манометре, вывели из положения равновесия. Определите период собственных колебаний ртути в манометре, если диаметр трубки манометра $d = 4,0$ мм. Силами трения и поверхностного натяжения пренебречь.

Дано:

$m = 40,8 \text{ г} = 40,8 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.0408 \text{ кг}$

$d = 4,0 \text{ мм} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Плотность ртути (справочное значение): $\rho = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$T$ - период собственных колебаний ртути.

Решение:

Колебания ртути в U-образной трубке можно рассматривать как гармонические. Период таких колебаний определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ – масса колеблющегося тела (в данном случае, всей ртути), а $k$ – коэффициент жесткости системы, который характеризует возвращающую силу.

Чтобы найти коэффициент жесткости $k$, рассмотрим смещение ртути из положения равновесия. Если в одном колене манометра уровень ртути опустится на величину $x$, то в другом он поднимется на ту же величину $x$. В результате между уровнями ртути в коленах образуется разность высот $h = 2x$.

Эта разность уровней создает избыточное давление, которое порождает возвращающую силу. Эта сила равна весу столбика ртути высотой $h$:

$F_{возвр} = -m_{изб}g = -(\rho V_{изб})g = -(\rho S h)g = -(\rho S (2x))g = -(2\rho g S)x$

Знак "минус" указывает на то, что сила направлена противоположно смещению $x$.

Сравнивая полученное выражение для возвращающей силы с обобщенным законом Гука $F = -kx$, находим коэффициент жесткости:

$k = 2\rho g S$

Здесь $S$ – площадь поперечного сечения трубки, которую можно найти через ее диаметр $d$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражения для $k$ и $S$ в формулу периода колебаний:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2\rho g S}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2\rho g \frac{\pi d^2}{4}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{\rho g \pi d^2}}$

Теперь выполним расчеты, подставив числовые значения в систему СИ:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 0.0408 \text{ кг}}{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \pi \cdot (4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}}$

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.0816}{13600 \cdot 9,8 \cdot \pi \cdot 16 \cdot 10^{-6}}} \text{ с}$

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.0816}{6.699}} \text{ с} = 2\pi \sqrt{0.01218} \text{ с}$

$T \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 0.1104 \text{ с} \approx 0.693 \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $T \approx 0,69 \text{ с}$.

Ответ: $T \approx 0,69 \text{ с}$.