Номер 79, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

79. Цилиндрический поплавок массой $m$ и площадью основания $S$ плавает, частично погрузившись в воду. После того как, увеличив глубину погружения поплавка, его отпустили, поплавок начал совершать вертикальные гармонические колебания. Определите частоту этих колебаний. Плотность воды равна $\rho$. Силой сопротивления пренебречь.

Дано:

Масса поплавка: $m$

Площадь основания поплавка: $S$

Плотность воды: $\rho$

Найти:

Частоту колебаний поплавка: $\nu$

Решение:

Когда цилиндрический поплавок плавает в воде в состоянии равновесия, на него действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила Архимеда $F_{А0}$, направленная вертикально вверх. По условию равновесия, эти силы равны по модулю:

$F_т = F_{А0}$

Пусть в положении равновесия поплавок погружен на глубину $h_0$. Объем погруженной части равен $V_0 = S \cdot h_0$. Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_{А0} = \rho g V_0 = \rho g S h_0$, где $g$ – ускорение свободного падения. Таким образом, условие равновесия имеет вид:

$mg = \rho g S h_0$

Если сместить поплавок из положения равновесия вертикально вниз на малую величину $x$, глубина его погружения станет $h = h_0 + x$. Новая выталкивающая сила $F_А$ будет равна:

$F_А = \rho g S (h_0 + x)$

Равнодействующая сила $F$, действующая на поплавок, будет направлена против смещения $x$ и будет стремиться вернуть поплавок в положение равновесия. Эта сила является возвращающей силой. Найдем ее, выбрав положительное направление оси $x$ вниз:

$F = F_т - F_А = mg - \rho g S (h_0 + x)$

Подставим в это уравнение выражение для $mg$ из условия равновесия:

$F = \rho g S h_0 - \rho g S (h_0 + x) = \rho g S h_0 - \rho g S h_0 - \rho g S x$

$F = - \rho g S x$

Мы получили уравнение вида $F = -kx$, которое описывает гармонические колебания. Коэффициент жесткости $k$ в данном случае равен:

$k = \rho g S$

Согласно второму закону Ньютона, $F=ma$. Тогда уравнение движения поплавка имеет вид:

$ma = -kx$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, циклическая частота $\omega$ которых определяется формулой:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставив найденное значение $k$, получим:

$\omega = \sqrt{\frac{\rho g S}{m}}$

Линейная частота колебаний $\nu$ связана с циклической частотой соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Отсюда выразим искомую частоту $\nu$:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\rho g S}{m}}$

Ответ:

Частота гармонических колебаний поплавка определяется формулой $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\rho g S}{m}}$.