Номер 46, страница 20 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

46. Небольшой груз совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox$. Расстояние между точками максимального отклонения груза от положения равновесия разделено на четыре равных отрезка. Определите отношение промежутка времени, за который груз проходит один из крайних отрезков, к промежутку времени, за который груз проходит один из средних отрезков.

Дано:

Гармонические колебания вдоль оси Ox.
Амплитуда колебаний - $A$.
Расстояние между крайними точками ($x=-A$ и $x=A$) равно $2A$.
Это расстояние разделено на четыре равных отрезка, длина каждого отрезка $L = \frac{2A}{4} = \frac{A}{2}$.
Точки, разделяющие отрезки: $-A, -A/2, 0, A/2, A$.
Крайние отрезки: от $-A$ до $-A/2$ и от $A/2$ до $A$.
Средние отрезки: от $-A/2$ до $0$ и от $0$ до $A/2$.

Найти:

Отношение времени прохождения крайнего отрезка ($t_{крайний}$) к времени прохождения среднего отрезка ($t_{средний}$):
$\frac{t_{крайний}}{t_{средний}}$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний можно записать в виде $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.
Для удобства расчетов выберем начальную фазу так, чтобы в момент времени $t=0$ груз находился в точке максимального отклонения $x=A$. В этом случае $\phi_0=0$, и уравнение движения принимает вид:
$x(t) = A \cos(\omega t)$
Рассмотрим движение груза от точки максимального отклонения $x=A$ к положению равновесия $x=0$. В силу симметрии гармонических колебаний, время прохождения соответствующих отрезков будет одинаковым для любой четверти периода.
Найдем моменты времени, когда груз проходит ключевые точки.
1. Время $t_1$, когда груз находится в точке $x_1 = A$ (начало движения):
$A = A \cos(\omega t_1)$
$\cos(\omega t_1) = 1$
$\omega t_1 = 0 \Rightarrow t_1 = 0$.
2. Время $t_2$, когда груз достигает точки $x_2 = A/2$:
$\frac{A}{2} = A \cos(\omega t_2)$
$\cos(\omega t_2) = \frac{1}{2}$
$\omega t_2 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$
$t_2 = \frac{\pi}{3\omega}$.
3. Время $t_3$, когда груз достигает положения равновесия $x_3 = 0$:
$0 = A \cos(\omega t_3)$
$\cos(\omega t_3) = 0$
$\omega t_3 = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$
$t_3 = \frac{\pi}{2\omega}$.
Теперь определим промежутки времени для прохождения крайнего и среднего отрезков.
Время прохождения крайнего отрезка (от $x=A$ до $x=A/2$):
$t_{крайний} = t_2 - t_1 = \frac{\pi}{3\omega} - 0 = \frac{\pi}{3\omega}$.
Время прохождения среднего отрезка (от $x=A/2$ до $x=0$):
$t_{средний} = t_3 - t_2 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{3\omega} = \frac{3\pi - 2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{6\omega}$.
Найдем искомое отношение:
$\frac{t_{крайний}}{t_{средний}} = \frac{\frac{\pi}{3\omega}}{\frac{\pi}{6\omega}} = \frac{\pi}{3\omega} \cdot \frac{6\omega}{\pi} = \frac{6}{3} = 2$.
Это означает, что груз проходит крайний отрезок в два раза медленнее, чем средний. Это логично, так как у крайних точек скорость груза минимальна (равна нулю в точке максимального отклонения), а при прохождении положения равновесия скорость максимальна.

Ответ: 2.