Номер 110, страница 36 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

110. Маятник, состоящий из небольшого предмета массой $m = 100 \text{ г}$ и легкого жгута, совершает свободные гармонические колебания в вертикальном направлении с частотой $v = 1,5 \text{ Гц}$. Определите амплитуду колебаний предмета, если максимальная кинетическая энергия маятника $(W_{\text{к}})_{\text{max}} = 16 \text{ мДж}$.

Дано

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

$\nu = 1,5 \text{ Гц}$

$(W_{\text{к}})_{\text{max}} = 16 \text{ мДж} = 16 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

$A$ - ?

Решение

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется. Максимальная кинетическая энергия маятника достигается в момент прохождения положения равновесия, и в этот момент она равна полной энергии колебаний.

Максимальная кинетическая энергия определяется формулой:

$(W_{\text{к}})_{\text{max}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2}$

где $m$ – масса предмета, а $v_{\text{max}}$ – максимальная скорость его движения.

Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой $A$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$v_{\text{max}} = \omega A$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ следующим образом:

$\omega = 2 \pi \nu$

Подставим выражение для максимальной скорости в формулу для кинетической энергии:

$(W_{\text{к}})_{\text{max}} = \frac{m (\omega A)^2}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{2}$

Теперь подставим выражение для циклической частоты:

$(W_{\text{к}})_{\text{max}} = \frac{m (2 \pi \nu)^2 A^2}{2} = \frac{m \cdot 4 \pi^2 \nu^2 A^2}{2} = 2 m \pi^2 \nu^2 A^2$

Из этой формулы выразим амплитуду колебаний $A$:

$A^2 = \frac{(W_{\text{к}})_{\text{max}}}{2 m \pi^2 \nu^2}$

$A = \sqrt{\frac{(W_{\text{к}})_{\text{max}}}{2 m \pi^2 \nu^2}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$A = \sqrt{\frac{16 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{2 \cdot 0,1 \text{ кг} \cdot \pi^2 \cdot (1,5 \text{ Гц})^2}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 10^{-3}}{0,2 \cdot \pi^2 \cdot 2,25}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 10^{-3}}{0,45 \pi^2}} \approx \sqrt{\frac{0,016}{0,45 \cdot 9,87}} \approx \sqrt{\frac{0,016}{4,4415}} \approx \sqrt{0,0036} \approx 0,06 \text{ м}$

Таким образом, амплитуда колебаний составляет 0,06 метра, что равно 6 сантиметрам.

Ответ: амплитуда колебаний предмета равна $0,06 \text{ м}$ или $6 \text{ см}$.