Номер 117, страница 37 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

117. К свободному концу горизонтальной пружины прикреплен брусок, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 17). После того как брусок вывели из положения равновесия и отпустили, он начал совершать свободные гармонические колебания с периодом

$T = 2,4$ с. Через какой минимальный промежуток времени:

а) кинетическая энергия бруска будет равна потенциальной энергии пружины;

б) кинетическая энергия бруска будет в 3 раза больше потенциальной энергии пружины?

Рис. 17

Дано:

Период колебаний $T = 2,4$ с.

Система единиц СИ: Данные представлены в СИ.

Найти:

а) $t_a$ - минимальный промежуток времени, через который кинетическая энергия бруска будет равна потенциальной энергии пружины ($E_к = E_п$).

б) $t_b$ - минимальный промежуток времени, через который кинетическая энергия бруска будет в 3 раза больше потенциальной энергии пружины ($E_к = 3E_п$).

Решение:

Так как брусок выводят из положения равновесия и отпускают, его начальная скорость равна нулю, а смещение максимально и равно амплитуде $A$. Движение бруска является гармоническим колебанием, и его координата изменяется со временем по закону косинуса:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая частота колебаний, связанная с периодом $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Потенциальная энергия пружины ($E_п$) и кинетическая энергия бруска ($E_к$) в любой момент времени $t$ определяются выражениями:

$E_п = \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2 \cos^2(\omega t)}{2}$

$E_к = \frac{mv^2}{2}$

Полная механическая энергия системы $E$ при гармонических колебаниях сохраняется и равна максимальной потенциальной энергии (в крайних точках) или максимальной кинетической энергии (в положении равновесия):

$E = E_к + E_п = \frac{kA^2}{2} = \text{const}$

а) кинетическая энергия бруска будет равна потенциальной энергии пружины

По условию $E_к = E_п$. Используя закон сохранения полной механической энергии, получим:

$E = E_к + E_п = E_п + E_п = 2E_п$

Отсюда следует, что потенциальная энергия должна составлять половину от полной энергии:

$E_п = \frac{E}{2}$

Подставим формулы для $E_п$ и $E$:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{kA^2}{2} \right)$

Из этого уравнения находим смещение $x$:

$x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$

Найдём минимальное время $t_a$, за которое брусок, начав движение из точки $x(0) = A$, достигнет положения $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$:

$x(t_a) = A \cos(\omega t_a) = \frac{A}{\sqrt{2}}$

$\cos(\omega t_a) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Наименьшее положительное значение фазы $\omega t_a$, удовлетворяющее этому условию, равно $\frac{\pi}{4}$.

$\omega t_a = \frac{2\pi}{T} t_a = \frac{\pi}{4}$

Выразим время $t_a$:

$t_a = \frac{T}{8} = \frac{2,4 \text{ с}}{8} = 0,3 \text{ с}$

Ответ: 0,3 с.

б) кинетическая энергия бруска будет в 3 раза больше потенциальной энергии пружины

По условию $E_к = 3E_п$. Снова используем закон сохранения энергии:

$E = E_к + E_п = 3E_п + E_п = 4E_п$

Следовательно, потенциальная энергия в этот момент времени составляет четверть от полной энергии:

$E_п = \frac{E}{4}$

Подставим выражения для энергий:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{1}{4} \left( \frac{kA^2}{2} \right)$

Находим смещение $x$:

$x^2 = \frac{A^2}{4} \implies x = \pm \frac{A}{2}$

Найдём минимальное время $t_b$, за которое брусок, начав движение из точки $x(0) = A$, достигнет положения $x = \frac{A}{2}$:

$x(t_b) = A \cos(\omega t_b) = \frac{A}{2}$

$\cos(\omega t_b) = \frac{1}{2}$

Наименьшее положительное значение фазы $\omega t_b$, удовлетворяющее этому условию, равно $\frac{\pi}{3}$.

$\omega t_b = \frac{2\pi}{T} t_b = \frac{\pi}{3}$

Выразим время $t_b$:

$t_b = \frac{T}{6} = \frac{2,4 \text{ с}}{6} = 0,4 \text{ с}$

Ответ: 0,4 с.