Номер 121, страница 39 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

121. К свободному концу горизонтальной пружины прикреплен брусок, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 17). Зависимость координаты бруска, совершающего колебания вдоль оси $Ox$, от времени имеет вид: $x(t) = A\cos(Bt + C)$, где $A = 16$ см, $B = \frac{13\pi}{15}$ рад/с, $C = \frac{\pi}{30}$ рад. Модуль максимальной равнодействующей сил, приложенных к бруску, $F_{\max} = 700$ мН. Определите потенциальную энергию этого маятника в момент времени $t = 1,5$ с.

Рис. 17

Дано:

$x(t) = A\cos(Bt + C)$

$A = 16 \text{ см}$

$B = \frac{13\pi}{15} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$C = \frac{\pi}{30} \text{ рад}$

$F_{max} = 700 \text{ мН}$

$t = 1,5 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$A = 16 \text{ см} = 0,16 \text{ м}$

$F_{max} = 700 \text{ мН} = 700 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0,7 \text{ Н}$

$t = 1,5 \text{ с}$

Найти:

$E_p(t)$ - потенциальную энергию маятника в момент времени $t$.

Решение:

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется формулой:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ – жесткость пружины, а $x$ – смещение бруска от положения равновесия. Смещение бруска от положения равновесия изменяется со временем по закону:

$x(t) = A\cos(Bt + C)$

Подставив это выражение в формулу для потенциальной энергии, получим зависимость потенциальной энергии от времени:

$E_p(t) = \frac{k(A\cos(Bt + C))^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\cos^2(Bt + C)$

Выражение $\frac{kA^2}{2}$ представляет собой максимальную потенциальную энергию маятника, которая равна его полной механической энергии $E_{полн}$.

$E_{полн} = \frac{kA^2}{2}$

Таким образом, $E_p(t) = E_{полн} \cos^2(Bt + C)$.

Полную энергию можно найти, используя максимальную силу, действующую на брусок. Максимальная сила (возвращающая сила) возникает при максимальном смещении (амплитуде $A$) и по закону Гука равна:

$F_{max} = kA$

Выразим полную энергию через $F_{max}$ и $A$:

$E_{полн} = \frac{kA \cdot A}{2} = \frac{F_{max}A}{2}$

Вычислим полную энергию маятника:

$E_{полн} = \frac{0,7 \text{ Н} \cdot 0,16 \text{ м}}{2} = \frac{0,112 \text{ Дж}}{2} = 0,056 \text{ Дж}$

Теперь найдем фазу колебаний $\phi = Bt + C$ в момент времени $t = 1,5 \text{ с}$:

$\phi = \frac{13\pi}{15} \frac{\text{рад}}{\text{с}} \cdot 1,5 \text{ с} + \frac{\pi}{30} \text{ рад} = \frac{13\pi}{15} \cdot \frac{3}{2} + \frac{\pi}{30} = \frac{13\pi \cdot 3}{15 \cdot 2} + \frac{\pi}{30} = \frac{39\pi}{30} + \frac{\pi}{30} = \frac{40\pi}{30} = \frac{4\pi}{3} \text{ рад}$

Теперь мы можем рассчитать потенциальную энергию в момент времени $t = 1,5 \text{ с}$:

$E_p(t) = E_{полн} \cos^2(\phi) = 0,056 \text{ Дж} \cdot \cos^2(\frac{4\pi}{3})$

Так как $\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, то $\cos^2(\frac{4\pi}{3}) = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

$E_p(t) = 0,056 \text{ Дж} \cdot \frac{1}{4} = 0,014 \text{ Дж}$

Переведем в миллиджоули: $0,014 \text{ Дж} = 14 \text{ мДж}$.

Ответ: $E_p = 14$ мДж.