Номер 119, страница 38 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

119. К свободному концу горизонтальной пружины прикреплен брусок, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 17). Брусок вывели из состояния равновесия и отпустили, в результате чего он стал совершать свободные гармонические колебания вдоль оси $Ox$. Определите отношение кинетической энергии бруска к потенциальной энергии пружины спустя время $t$ после начала колебаний, если частота колебаний равна $v$.

0

Рис. 17

Дано:

$t$ - время после начала колебаний
$\nu$ - частота колебаний

Найти:

$\frac{E_к}{E_п}$

Решение:

Гармонические колебания бруска описываются законом движения. Так как по условию брусок вывели из состояния равновесия и отпустили, его начальная скорость равна нулю, а смещение в начальный момент времени ($t=0$) максимально и равно амплитуде $A$. Такое движение описывается уравнением:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

где $x(t)$ — смещение бруска от положения равновесия в момент времени $t$, $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота.

Скорость бруска $v(t)$ является первой производной от смещения по времени:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t)) = -A\omega \sin(\omega t)$

Кинетическая энергия бруска $E_к$ в момент времени $t$ определяется по формуле:

$E_к(t) = \frac{mv^2}{2} = \frac{m(-A\omega \sin(\omega t))^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2\sin^2(\omega t)}{2}$

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины $E_п$ в момент времени $t$ определяется по формуле:

$E_п(t) = \frac{kx^2}{2} = \frac{k(A \cos(\omega t))^2}{2} = \frac{kA^2\cos^2(\omega t)}{2}$

Для пружинного маятника циклическая частота $\omega$ связана с массой бруска $m$ и жесткостью пружины $k$ соотношением $\omega^2 = \frac{k}{m}$, откуда $k = m\omega^2$. Подставим это выражение в формулу для потенциальной энергии:

$E_п(t) = \frac{(m\omega^2)A^2\cos^2(\omega t)}{2} = \frac{mA^2\omega^2\cos^2(\omega t)}{2}$

Теперь найдем искомое отношение кинетической энергии к потенциальной:

$\frac{E_к(t)}{E_п(t)} = \frac{\frac{mA^2\omega^2\sin^2(\omega t)}{2}}{\frac{mA^2\omega^2\cos^2(\omega t)}{2}} = \frac{\sin^2(\omega t)}{\cos^2(\omega t)} = \tan^2(\omega t)$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Подставим это в полученное выражение:

$\frac{E_к(t)}{E_п(t)} = \tan^2(2\pi\nu t)$

Ответ: Отношение кинетической энергии бруска к потенциальной энергии пружины равно $\tan^2(2\pi\nu t)$.