Номер 118, страница 38 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

118. К свободному концу горизонтальной пружины прикреплен брусок, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 17). Брусок совершает свободные гармонические колебания вдоль оси $Ox$ с периодом $T = 1,2 \text{ с}$. Максимальная потенциальная энергия пружинного маятника ($W_{\text{П/max}}$) $= 18 \text{ мДж}$. В начальный момент времени проекция скорости и координата бруска положительны, а потенциальная энергия маятника $W_{\text{П1}} = 4,5 \text{ мДж}$. Через какой минимальный промежуток времени потенциальная энергия маятника снова станет $W_{\text{П2}} = 4,5 \text{ мДж}$?

Рис. 17

Дано:

Период колебаний: $T = 1,2 \text{ с}$

Максимальная потенциальная энергия: $W_{п,max} = 18 \text{ мДж}$

Начальная потенциальная энергия: $W_{п1} = 4,5 \text{ мДж}$

В начальный момент времени ($t=0$): $x > 0$, $v_x > 0$

Конечная потенциальная энергия: $W_{п2} = 4,5 \text{ мДж}$

Перевод в систему СИ:

$W_{п,max} = 18 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

$W_{п1} = 4,5 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

$W_{п2} = 4,5 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

Минимальный промежуток времени $\Delta t$, через который потенциальная энергия снова станет $W_{п2}$.

Решение:

Потенциальная энергия пружинного маятника зависит от координаты $x$ по формуле $W_п = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ – жесткость пружины. Максимальная потенциальная энергия достигается при максимальном отклонении от положения равновесия, то есть при координате, равной амплитуде $A$: $W_{п,max} = \frac{kA^2}{2}$.

Найдем отношение начальной потенциальной энергии к максимальной, чтобы определить начальную координату $x_1$ через амплитуду $A$:

$\frac{W_{п1}}{W_{п,max}} = \frac{kx_1^2/2}{kA^2/2} = \left(\frac{x_1}{A}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$\left(\frac{x_1}{A}\right)^2 = \frac{4,5 \times 10^{-3} \text{ Дж}}{18 \times 10^{-3} \text{ Дж}} = \frac{1}{4}$

Отсюда $x_1 = \pm \frac{A}{2}$. Согласно условию, в начальный момент времени координата бруска положительна, следовательно, $x_1 = +\frac{A}{2}$.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ – циклическая частота, а $\phi_0$ – начальная фаза. Проекция скорости на ось Ox равна $v_x(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

Используем начальные условия ($t=0$, $x(0) = A/2$, $v_x(0) > 0$) для определения начальной фазы $\phi_0$:

1) $x(0) = A \cos(\phi_0) = \frac{A}{2} \implies \cos(\phi_0) = \frac{1}{2}$. Возможные значения $\phi_0 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ – целое число.

2) $v_x(0) = -A\omega \sin(\phi_0) > 0$. Так как $A > 0$ и $\omega > 0$, это условие выполняется при $\sin(\phi_0) < 0$.

Из двух возможных значений для фазы ($\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$) условию $\sin(\phi_0) < 0$ удовлетворяет только $\phi_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, уравнение движения бруска имеет вид: $x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3}\right)$.

Требуется найти минимальное время $\Delta t$, через которое потенциальная энергия снова станет $W_{п2} = 4,5 \text{ мДж}$. Это произойдет, когда координата бруска $x$ снова будет удовлетворять условию $x^2 = (A/2)^2$, то есть $x = \pm \frac{A}{2}$. Мы ищем наименьшее время $t > 0$, для которого это условие выполняется.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x(t) = +\frac{A}{2}$

$A \cos\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{A}{2} \implies \cos\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Фаза колебаний $\phi(t) = \frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3}$ должна быть равна $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Начальная фаза (при $t=0$) равна $-\frac{\pi}{3}$. Следующее по времени значение фазы, при котором косинус равен $1/2$, это $\frac{\pi}{3}$.

$\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \implies \frac{2\pi}{T}t = \frac{2\pi}{3} \implies t = \frac{T}{3}$.

Случай 2: $x(t) = -\frac{A}{2}$

$A \cos\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{A}{2} \implies \cos\left(\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Фаза колебаний $\phi(t) = \frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3}$ должна быть равна $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Наименьшее значение фазы, большее начального ($-\frac{\pi}{3}$), при котором косинус равен $-1/2$, это $\frac{2\pi}{3}$.

$\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \implies \frac{2\pi}{T}t = \pi \implies t = \frac{T}{2}$.

Сравнивая два найденных момента времени, $t_1 = T/3$ и $t_2 = T/2$, выбираем минимальный положительный. Так как $\frac{T}{3} < \frac{T}{2}$, минимальный промежуток времени равен $\Delta t = \frac{T}{3}$.

Вычислим его значение:

$\Delta t = \frac{1,2 \text{ с}}{3} = 0,4 \text{ с}$.

Ответ: 0,4 с.