Номер 124, страница 40 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

124. Два небольших стальных диска массами $m_1$ и $m_2$ прикреплены к легкой пружине жесткостью $k$, ось которой вертикальна (рис. 28). При какой минимальной амплитуде колебаний верхнего диска нижний диск начнет подпрыгивать над столом, на котором он лежит?

Рис. 28

Дано:

Масса верхнего диска: $m_1$

Масса нижнего диска: $m_2$

Жесткость пружины: $k$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Минимальную амплитуду колебаний $A_{min}$ верхнего диска, при которой нижний диск начнет подпрыгивать.

Решение:

Сначала определим положение равновесия верхнего диска $m_1$. В этом положении сила тяжести $m_1g$ уравновешивается силой упругости сжатой пружины $F_{упр,0}$. Если сжатие пружины в положении равновесия равно $\Delta l_0$, то:

$m_1g = k \Delta l_0$

Отсюда, начальное сжатие пружины составляет:

$\Delta l_0 = \frac{m_1g}{k}$

Колебания верхнего диска будут происходить вокруг этого положения равновесия.

Нижний диск $m_2$ начнет подпрыгивать (отрываться от стола), когда сила реакции опоры $N$, действующая на него со стороны стола, станет равной нулю. В этот момент сила, действующая на диск $m_2$ со стороны пружины, должна быть направлена вверх и быть равной по модулю силе тяжести диска $m_2$.

Сила со стороны пружины будет направлена вверх, только если пружина растянута. Пусть в момент отрыва пружина растянута на величину $\Delta l_{раст}$. Тогда условие отрыва нижнего диска можно записать в виде:

$F_{упр} = m_2g$

По закону Гука, $F_{упр} = k \Delta l_{раст}$. Следовательно:

$k \Delta l_{раст} = m_2g$

Из этого уравнения находим величину растяжения пружины, необходимую для отрыва диска $m_2$:

$\Delta l_{раст} = \frac{m_2g}{k}$

Наибольшее растяжение пружины происходит, когда верхний диск $m_1$ достигает верхней точки своей траектории во время колебаний. Эта точка находится на расстоянии амплитуды $A$ выше положения равновесия.

Растяжение пружины $\Delta l_{раст}$ — это ее удлинение относительно недеформированного состояния. Положение равновесия диска $m_1$ находится на расстоянии $\Delta l_0$ ниже положения, где пружина не деформирована. Верхняя точка колебаний находится на расстоянии $A$ выше положения равновесия. Таким образом, максимальное растяжение пружины равно разности между амплитудой и начальным сжатием:

$\Delta l_{раст} = A - \Delta l_0$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\Delta l_{раст}$:

$A - \Delta l_0 = \frac{m_2g}{k}$

Подставим ранее найденное выражение для $\Delta l_0 = \frac{m_1g}{k}$:

$A - \frac{m_1g}{k} = \frac{m_2g}{k}$

Выразим отсюда искомую минимальную амплитуду $A = A_{min}$:

$A_{min} = \frac{m_1g}{k} + \frac{m_2g}{k} = \frac{(m_1 + m_2)g}{k}$

Ответ: Минимальная амплитуда колебаний верхнего диска, при которой нижний диск начнет подпрыгивать, равна $A_{min} = \frac{(m_1 + m_2)g}{k}$.