Номер 122, страница 39 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

122. Кинематический закон гармонических колебаний груза имеет вид: $x(t) = A\cos(Bt + C)$, где $A = 16$ см, $B = \frac{11\pi}{15} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, $C = \frac{13\pi}{10}$ рад. Определите модуль максимальной равнодействующей сил, действующих на груз, если в момент времени $t = 0,50$ с его кинетическая энергия $W_\text{к} = 21$ мДж.

Дано:

$x(t) = A \cos(Bt + C)$

$A = 16 \text{ см}$

$B = \frac{11\pi}{15} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$C = \frac{13\pi}{10} \text{ рад}$

$t = 0,50 \text{ с}$

$W_к = 21 \text{ мДж}$

Перевод в систему СИ:

$A = 0,16 \text{ м}$

$W_к = 21 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0,021 \text{ Дж}$

Найти:

$F_{max}$

Решение:

Кинематический закон гармонических колебаний задан уравнением $x(t) = A\cos(Bt + C)$, где $A$ – амплитуда, $B$ – циклическая частота, $C$ – начальная фаза.

Скорость груза является первой производной от координаты по времени:

$v(t) = x'(t) = -AB \sin(Bt + C)$

Кинетическая энергия груза в любой момент времени $t$ определяется по формуле:

$W_к(t) = \frac{mv^2(t)}{2} = \frac{m(-AB \sin(Bt + C))^2}{2} = \frac{mA^2B^2\sin^2(Bt + C)}{2}$

Равнодействующая сила, действующая на груз при гармонических колебаниях, согласно второму закону Ньютона, равна $F = ma$. Ускорение $a$ является первой производной от скорости по времени:

$a(t) = v'(t) = -AB^2 \cos(Bt + C)$

Тогда равнодействующая сила:

$F(t) = ma(t) = -mAB^2 \cos(Bt + C)$

Модуль максимальной равнодействующей силы достигается, когда $|\cos(Bt + C)| = 1$. Таким образом,

$F_{max} = mAB^2$

Для нахождения $F_{max}$ необходимо определить массу груза $m$. Выразим массу из формулы для кинетической энергии:

$m = \frac{2W_к}{A^2B^2\sin^2(Bt + C)}$

Подставим выражение для массы в формулу для максимальной силы:

$F_{max} = \left( \frac{2W_к}{A^2B^2\sin^2(Bt + C)} \right) AB^2 = \frac{2W_к}{A\sin^2(Bt + C)}$

Теперь вычислим значение фазы колебаний $\phi = Bt + C$ в момент времени $t = 0,50 \text{ с}$:

$\phi = \frac{11\pi}{15} \cdot 0,50 + \frac{13\pi}{10} = \frac{11\pi}{15} \cdot \frac{1}{2} + \frac{13\pi}{10} = \frac{11\pi}{30} + \frac{39\pi}{30} = \frac{50\pi}{30} = \frac{5\pi}{3} \text{ рад}$

Найдем значение $\sin^2(\phi)$:

$\sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin^2(\frac{5\pi}{3}) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

Подставим все известные значения в формулу для $F_{max}$:

$F_{max} = \frac{2 \cdot 0,021 \text{ Дж}}{0,16 \text{ м} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{0,042}{0,16 \cdot 0,75} = \frac{0,042}{0,12} = 0,35 \text{ Н}$

Ответ: $F_{max} = 0,35 \text{ Н}$.