Номер 125, страница 40 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

125. К резиновому жгуту жесткостью $k$ прикреплен груз массой $m$, который может совершать свободные вертикальные колебания. При какой минимальной амплитуде колебания груза не будут гармоническими?

Дано:

Жесткость резинового жгута: $k$

Масса груза: $m$

Найти:

$A_{min}$ — минимальная амплитуда, при которой колебания не будут гармоническими.

Решение:

Гармонические колебания — это колебания, которые происходят под действием возвращающей силы, пропорциональной смещению тела от положения равновесия и направленной к нему ($F = -cx$). В данной задаче роль возвращающей силы играет сила упругости жгута.

На груз, подвешенный на резиновом жгуте, действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$ (направлена вниз) и сила упругости жгута $F_{упр}$ (направлена вверх). Особенность резинового жгута заключается в том, что он создает силу упругости только при растяжении. Если жгут не натянут, сила упругости равна нулю.

Сначала определим положение равновесия системы, в котором груз находится в покое. В этом положении сила тяжести уравновешена силой упругости:

$mg = k \cdot \Delta l_0$

Здесь $\Delta l_0$ — это статическое удлинение жгута под действием веса груза. Из этого уравнения выразим величину статического удлинения:

$\Delta l_0 = \frac{mg}{k}$

Колебания будут происходить вокруг этого положения равновесия. Выберем ось координат $x$ с началом в положении равновесия ($x=0$) и направлением вниз.

Пока жгут остается натянутым, результирующая сила, действующая на груз при его смещении на $x$ от положения равновесия, равна:

$F_{рез} = mg - F_{упр} = mg - k(\Delta l_0 + x) = (mg - k\Delta l_0) - kx$

Поскольку из условия равновесия $mg - k\Delta l_0 = 0$, то результирующая сила равна $F_{рез} = -kx$. Это уравнение описывает гармонические колебания.

Однако это соотношение справедливо только при условии, что жгут растянут, то есть его полное удлинение $\Delta l_0 + x > 0$. Колебания перестанут быть гармоническими, если в какой-то момент времени жгут станет ненатянутым. Это произойдет, когда груз, двигаясь вверх (в область отрицательных $x$), достигнет точки, где его смещение вверх от положения равновесия станет равным по модулю статическому удлинению $\Delta l_0$. В этой точке ($x = -\Delta l_0$) натяжение жгута исчезает. Если груз поднимется еще выше ($x < -\Delta l_0$), сила упругости станет равной нулю, и на груз будет действовать только сила тяжести. Закон силы изменится, и движение перестанет быть гармоническим.

Амплитуда колебаний $A$ — это максимальное смещение тела от положения равновесия. Верхняя точка траектории колеблющегося груза имеет координату $x = -A$.

Чтобы колебания перестали быть гармоническими, груз в своей верхней точке должен как минимум достичь положения, где жгут становится ненатянутым. Это означает, что максимальное смещение вверх должно быть равно или больше, чем $\Delta l_0$:

$A \ge \Delta l_0$

Минимальная амплитуда, при которой это условие выполняется и колебания становятся негармоническими, равна:

$A_{min} = \Delta l_0$

Подставляя ранее найденное выражение для $\Delta l_0$, получаем окончательный ответ:

$A_{min} = \frac{mg}{k}$

При такой амплитуде в верхней точке траектории сила упругости исчезает, закон действия силы на груз меняется, что нарушает гармоничность колебаний.

Ответ: Минимальная амплитуда, при которой колебания груза не будут гармоническими, равна $A_{min} = \frac{mg}{k}$.