Номер 123, страница 39 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

123. На рисунке 27 приведен график зависимости координаты материальной точки, совершающей гармонические колебания с периодом $T$ вдоль оси $Ox$, от времени. Определите кинетическую энергию материальной точки в момент времени $t=\frac{T}{24}$, если в этот момент потенциальная энергия точки $W_{\text{п}}=36$ мДж.

Рис. 27

Дано:

График зависимости координаты от времени $x(t)$ для гармонических колебаний.

Момент времени $t = \frac{T}{24}$

Потенциальная энергия в этот момент $W_п = 36$ мДж

Перевод в систему СИ:

$W_п = 36 \cdot 10^{-3}$ Дж

Найти:

$W_к$ — кинетическую энергию в момент времени $t$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний, график которых представлен на рисунке, можно записать в виде $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда колебаний, $\omega = \frac{2\pi}{T}$ – циклическая частота, $T$ – период колебаний, $\phi_0$ – начальная фаза.

Из графика видно, что в момент времени $t = \frac{T}{8}$ координата точки достигает своего максимального значения, равного амплитуде $A$. Следовательно, в этот момент фаза колебаний $\omega t + \phi_0$ равна нулю (или кратна $2\pi$).

$\omega \cdot \frac{T}{8} + \phi_0 = 0$

Подставим $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8} + \phi_0 = 0$

$\frac{\pi}{4} + \phi_0 = 0 \Rightarrow \phi_0 = -\frac{\pi}{4}$

Таким образом, уравнение движения материальной точки имеет вид:

$x(t) = A \cos(\frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{4})$

Потенциальная энергия $W_п$ и кинетическая энергия $W_к$ материальной точки, совершающей гармонические колебания, связаны с полной энергией $W$ и фазой колебаний $\phi(t) = \frac{2\pi}{T}t - \frac{\pi}{4}$ следующими соотношениями:

$W_п(t) = W \cos^2(\phi(t))$

$W_к(t) = W \sin^2(\phi(t))$

где $W = \frac{kA^2}{2}$ – полная механическая энергия, которая в отсутствие затухания сохраняется.

Найдем фазу колебаний в интересующий нас момент времени $t = \frac{T}{24}$:

$\phi = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{24} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$

Теперь мы можем найти отношение кинетической энергии к потенциальной в этот момент времени, разделив одно выражение на другое:

$\frac{W_к}{W_п} = \frac{W \sin^2(-\frac{\pi}{6})}{W \cos^2(-\frac{\pi}{6})} = \tan^2(-\frac{\pi}{6})$

Известно, что $\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому:

$\frac{W_к}{W_п} = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$

Из этого соотношения выражаем искомую кинетическую энергию:

$W_к = \frac{1}{3} W_п$

Подставляем известное из условия значение потенциальной энергии $W_п = 36$ мДж:

$W_к = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ мДж} = 12 \text{ мДж}$

Ответ: $12$ мДж.