Номер 116, страница 37 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

116. На пружине жесткостью $k=25 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$ неподвижно висит пластмассовый шарик, склеенный из двух частей. В некоторый момент времени часть шарика массой $\Delta m = 60 \text{ г}$ отклеивается, а оставшаяся часть шарика начинает совершать на пружине вертикальные свободные гармонические колебания. Определите максимальную кинетическую энергию пружинного маятника.

Дано:

$k = 25 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$\Delta m = 60 \text{ г}$

В системе СИ:
$\Delta m = 0.06 \text{ кг}$

Найти:

$E_{k,max}$

Решение:

Пусть $M$ - начальная масса шарика, а $m$ - масса оставшейся части. Тогда $M = m + \Delta m$.
Изначально шарик массой $M$ висит на пружине неподвижно. Это означает, что сила тяжести уравновешена силой упругости. Положение равновесия 1:
$F_{упр1} = M g$
$k x_1 = M g$
где $x_1$ - начальное растяжение пружины.

После того как часть шарика массой $\Delta m$ отклеивается, на пружине остается шарик массой $m$. Новое положение равновесия (положение 2) для этого шарика будет другим. В новом положении равновесия сила тяжести оставшейся части уравновешивается силой упругости:
$F_{упр2} = m g$
$k x_2 = m g$
где $x_2$ - растяжение пружины в новом положении равновесия.

Колебания начинаются в тот момент, когда шарик массой $m$ находится в положении 1 (старое положение равновесия), при этом его начальная скорость равна нулю. В гармонических колебаниях крайнее положение (где скорость равна нулю) - это точка максимального отклонения от положения равновесия. Следовательно, амплитуда колебаний $A$ равна разности между начальным положением и новым положением равновесия:
$A = x_1 - x_2$
Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$:
$A = \frac{M g}{k} - \frac{m g}{k} = \frac{(M-m)g}{k}$
Так как $M-m = \Delta m$, то амплитуда колебаний равна:
$A = \frac{\Delta m \cdot g}{k}$

Максимальная кинетическая энергия пружинного маятника достигается при прохождении положения равновесия. В этот момент потенциальная энергия упругой деформации пружины (относительно положения равновесия) равна нулю, и вся полная механическая энергия колебаний переходит в кинетическую. Полная энергия гармонических колебаний равна:
$E = \frac{k A^2}{2}$
Следовательно, максимальная кинетическая энергия:
$E_{k,max} = \frac{k A^2}{2}$
Подставим выражение для амплитуды $A$:
$E_{k,max} = \frac{k}{2} \left( \frac{\Delta m \cdot g}{k} \right)^2 = \frac{k}{2} \frac{(\Delta m \cdot g)^2}{k^2} = \frac{(\Delta m \cdot g)^2}{2k}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
$E_{k,max} = \frac{(0.06 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})^2}{2 \cdot 25 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{(0.6 \text{ Н})^2}{50 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{0.36 \text{ Н}^2}{50 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0.0072 \text{ Дж}$

Ответ: $E_{k,max} = 0.0072 \text{ Дж}$.