Номер 114, страница 37 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

114. Груз массой $m = 0,95 \text{ кг}$, прикрепленный к пружине и находящийся на гладкой горизонтальной плоскости, совершает свободные гармонические колебания (рис. 17). На рисунке 26 представлен график зависимости координаты груза от времени. Определите кинетическую энергию груза в момент времени $t_1 = 2 \text{ с}$ и потенциальную энергию пружины в момент времени $t_2 = 4 \text{ с}$.

Рис. 26

Рис. 17

Дано:

Масса груза: $m = 0,95$ кг
Момент времени 1: $t_1 = 2$ с
Момент времени 2: $t_2 = 4$ с
Из графика зависимости координаты от времени (Рис. 26):
Амплитуда колебаний: $A = 6$ см
Период колебаний: $T = 4$ с

Перевод в систему СИ:
$A = 6 \cdot 10^{-2}$ м $ = 0,06$ м

Найти:

$E_{к1}$ - кинетическую энергию груза в момент времени $t_1$
$E_{п2}$ - потенциальную энергию пружины в момент времени $t_2$

Решение:

Груз совершает свободные гармонические колебания. Уравнение движения в общем виде: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$. Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ координата груза максимальна и равна амплитуде $x(0) = A = 6$ см. Это означает, что начальная фаза колебаний $\phi_0 = 0$. Таким образом, уравнение движения груза: $x(t) = A \cos(\omega t)$.

Период колебаний $T$ — это время одного полного колебания. Из графика определяем, что $T = 4$ с. Зная период, найдем циклическую частоту $\omega$: $ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $ рад/с.

Кинетическая энергия груза в момент времени $t_1 = 2$ с

Кинетическая энергия тела определяется по формуле $E_к = \frac{mv^2}{2}$, где $v$ — скорость тела. Скорость тела при гармонических колебаниях является первой производной от координаты по времени: $ v(t) = x'(t) = (A \cos(\omega t))' = -A\omega \sin(\omega t) $. Найдем скорость в момент времени $t_1 = 2$ с: $ v(t_1) = v(2) = -A\omega \sin(\omega \cdot 2) = -A\omega \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 2) = -A\omega \sin(\pi) $. Поскольку $\sin(\pi) = 0$, скорость груза в этот момент времени равна нулю: $v(2) = 0$ м/с. Этот же вывод можно сделать, проанализировав график: в момент времени $t_1 = 2$ с груз находится в крайнем левом положении ($x = -6$ см), то есть в точке поворота. В точках поворота скорость колеблющегося тела мгновенно обращается в ноль. Следовательно, кинетическая энергия в момент времени $t_1 = 2$ с равна: $ E_{к1} = \frac{m \cdot (0)^2}{2} = 0 $ Дж.

Ответ: $E_{к1} = 0$ Дж.

Потенциальная энергия пружины в момент времени $t_2 = 4$ с

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле $E_п = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее удлинение (смещение от положения равновесия). Жесткость пружины $k$ можно найти из формулы для циклической частоты пружинного маятника: $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $. Отсюда выразим жесткость: $ k = m\omega^2 $. $ k = 0,95 \cdot (\frac{\pi}{2})^2 = 0,95 \cdot \frac{\pi^2}{4} $ Н/м. Из графика находим координату груза в момент времени $t_2 = 4$ с: $ x(t_2) = x(4) = 6 $ см $ = 0,06 $ м. В этот момент времени смещение максимально и равно амплитуде $A$. Потенциальная энергия в этой точке также максимальна. Рассчитаем потенциальную энергию: $ E_{п2} = \frac{k x(4)^2}{2} = \frac{1}{2} (m\omega^2) (x(4))^2 $. $ E_{п2} = \frac{1}{2} \cdot (0,95 \cdot \frac{\pi^2}{4}) \cdot (0,06)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,95 \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot 0,0036 $. Подставим значение $\pi \approx 3,14$: $ E_{п2} \approx \frac{1}{2} \cdot 0,95 \cdot \frac{(3,14)^2}{4} \cdot 0,0036 \approx 0,5 \cdot 0,95 \cdot \frac{9,86}{4} \cdot 0,0036 \approx 0,0042 $ Дж.

Ответ: $E_{п2} \approx 0,0042$ Дж.