Номер 109, страница 36 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

109. Пружинный маятник, состоящий из невесомой пружины и прикрепленного к ней груза массой $m = 100$ г, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с частотой $v = 2,0$ Гц и амплитудой $x_{\text{max}} = 2,0$ см (рис. 17). Определите потенциальную энергию пружины в момент времени, когда груз смещен от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды.

Дано:

$m = 100$ г

$\nu = 2.0$ Гц

$x_{\text{max}} = 2.0$ см

$x = \frac{1}{2}x_{\text{max}}$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$x_{\text{max}} = 2.0 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$x = \frac{0.02 \text{ м}}{2} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

$E_p$ - ?

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле:

$$E_p = \frac{kx^2}{2}$$

где $k$ – жесткость пружины, а $x$ – её деформация (смещение от положения равновесия).

В данном случае смещение $x$ равно половине амплитуды:

$$x = \frac{x_{\text{max}}}{2}$$

Жесткость пружины $k$ можно найти из формулы для частоты колебаний пружинного маятника:

$$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим $k$:

$$(2\pi\nu)^2 = \frac{k}{m}$$

$$k = m(2\pi\nu)^2 = 4\pi^2\nu^2m$$

Теперь подставим выражение для жесткости $k$ в формулу для потенциальной энергии:

$$E_p = \frac{(4\pi^2\nu^2m)x^2}{2} = 2\pi^2\nu^2mx^2$$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$$E_p = 2\pi^2 \cdot (2.0 \text{ Гц})^2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot (0.01 \text{ м})^2$$

$$E_p = 2\pi^2 \cdot 4 \cdot 0.1 \cdot 0.0001 \text{ Дж} = 0.0008\pi^2 \text{ Дж}$$

Принимая значение $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$$E_p \approx 0.0008 \cdot 9.87 \text{ Дж} \approx 0.0007896 \text{ Дж}$$

Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$$E_p \approx 0.00079 \text{ Дж} = 0.79 \text{ мДж}$$

Ответ: $E_p \approx 0.79$ мДж.