Номер 137, страница 44 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

137. Максимальная потенциальная энергия пружинного маятника массой $m = 10$ г, совершающего вынужденные колебания, $(W_{\text{п}})_{\text{max}} = 100$ мкДж. Определите частоту внешней периодической силы, действующей на груз маятника, если он колеблется с резонансной частотой. Амплитуда колебаний $x_{\text{max}} = 4,5$ см.

Дано:

$m = 10 \text{ г}$

$(W_{\text{п}})_{\text{max}} = 100 \text{ мкДж}$

$x_{\text{max}} = 4.5 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.01 \text{ кг}$

$(W_{\text{п}})_{\text{max}} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 10^{-4} \text{ Дж}$

$x_{\text{max}} = 4.5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.045 \text{ м}$

Найти:

$\nu$

Решение:

Согласно условию задачи, пружинный маятник совершает вынужденные колебания с резонансной частотой. Явление резонанса наступает тогда, когда частота внешней периодической (вынуждающей) силы $\nu$ совпадает с собственной частотой колебаний системы $\nu_0$.

$\nu = \nu_0$

Следовательно, для решения задачи необходимо найти собственную частоту колебаний пружинного маятника. Она вычисляется по формуле:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $k$ — жесткость пружины, а $m$ — масса груза.

Масса $m$ дана в условии. Жесткость пружины $k$ можно определить из формулы для максимальной потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Максимальная потенциальная энергия достигается при максимальном отклонении от положения равновесия, то есть при смещении, равном амплитуде $x_{\text{max}}$:

$(W_{\text{п}})_{\text{max}} = \frac{k x_{\text{max}}^2}{2}$

Выразим из этой формулы жесткость пружины $k$:

$k = \frac{2 (W_{\text{п}})_{\text{max}}}{x_{\text{max}}^2}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ:

$k = \frac{2 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}}{(0.045 \text{ м})^2} = \frac{2 \cdot 10^{-4}}{0.002025} \approx 0.098765 \text{ Н/м}$

Теперь, зная жесткость пружины $k$ и массу груза $m$, мы можем рассчитать собственную частоту колебаний маятника $\nu_0$:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \approx \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{0.098765 \text{ Н/м}}{0.01 \text{ кг}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{9.8765 \text{ с}^{-2}}$

Заметим, что значение под корнем очень близко к квадрату числа $\pi$ ($\pi^2 \approx 9.8696$). Поэтому с хорошей точностью можно считать, что $\sqrt{9.8765} \approx \pi$.

$\nu_0 \approx \frac{1}{2\pi} \cdot \pi = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ Гц}$

Поскольку колебания являются резонансными, частота внешней силы $\nu$ равна собственной частоте маятника $\nu_0$.

$\nu = \nu_0 \approx 0.5 \text{ Гц}$

Ответ: $\nu \approx 0.5 \text{ Гц}$.