Номер 905, страница 258 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

905. *На рисунке 218 изображен короткий световой импульс, распространяющийся вдоль оптической оси системы, состоящей из активной среды и двух параллельных плоских зеркал, отражающих $R = 95 \%$ падающей на них энергии. После 5 проходов через активную среду энергия светового импульса увеличивалась в 5 раз. Определите:

a) во сколько раз увеличивалась энергия светового импульса при одном прохождении через активную среду, если при каждом прохождении через активную среду энергия светового импульса увеличивалась в одно и то же число раз;

б) во сколько раз должна увеличиваться энергия светового импульса при одном прохождении через активную среду, чтобы энергия световых импульсов, прошедших через зеркало, не изменялась с течением времени.

Зеркало

$R = 95 \%$

Импульс

Активная среда

Зеркало

$R = 95 \%$

Рис. 218

Дано:

Коэффициент отражения зеркал $R = 95\%$

Число проходов через активную среду $n = 5$

Общее увеличение энергии импульса $N = 5$

Перевод в СИ:

$R = 0.95$

$n = 5$ (безразмерная)

$N = 5$ (безразмерная)

Найти:

а) Во сколько раз увеличивалась энергия светового импульса при одном прохождении через активную среду ($k$)?

б) Во сколько раз должна увеличиваться энергия светового импульса при одном прохождении через активную среду ($k_{стац}$), чтобы энергия световых импульсов, прошедших через зеркало, не изменялась с течением времени?

Решение:

Пусть $E_0$ – начальная энергия светового импульса перед первым прохождением через активную среду.Пусть $k$ – искомый коэффициент увеличения (усиления) энергии импульса за одно прохождение через активную среду.При каждом отражении от зеркала энергия импульса умножается на коэффициент отражения $R$.

а)

Проследим изменение энергии импульса в течение 5 проходов через активную среду. Между проходами происходят отражения от зеркал.

Энергия после 1-го прохода (вперед): $E_0 \cdot k$.
Энергия после 1-го отражения (от правого зеркала): $E_0 \cdot k \cdot R$.

Энергия после 2-го прохода (назад): $(E_0 \cdot k \cdot R) \cdot k = E_0 \cdot k^2 \cdot R$.
Энергия после 2-го отражения (от левого зеркала): $(E_0 \cdot k^2 \cdot R) \cdot R = E_0 \cdot k^2 \cdot R^2$.

Энергия после 3-го прохода (вперед): $(E_0 \cdot k^2 \cdot R^2) \cdot k = E_0 \cdot k^3 \cdot R^2$.
Энергия после 3-го отражения (от правого зеркала): $(E_0 \cdot k^3 \cdot R^2) \cdot R = E_0 \cdot k^3 \cdot R^3$.

Энергия после 4-го прохода (назад): $(E_0 \cdot k^3 \cdot R^3) \cdot k = E_0 \cdot k^4 \cdot R^3$.
Энергия после 4-го отражения (от левого зеркала): $(E_0 \cdot k^4 \cdot R^3) \cdot R = E_0 \cdot k^4 \cdot R^4$.

Энергия после 5-го прохода (вперед): $E_5 = (E_0 \cdot k^4 \cdot R^4) \cdot k = E_0 \cdot k^5 \cdot R^4$.

Таким образом, после 5 проходов через активную среду и 4 отражений от зеркал итоговая энергия $E_5$ связана с начальной $E_0$ соотношением: $E_5 = E_0 \cdot k^5 \cdot R^4$.

По условию задачи, после 5 проходов энергия импульса увеличилась в 5 раз, то есть $\frac{E_5}{E_0} = 5$.Подставим это в полученную формулу:$k^5 \cdot R^4 = 5$

Выразим отсюда коэффициент усиления $k$:$k^5 = \frac{5}{R^4}$$k = \sqrt[5]{\frac{5}{R^4}}$

Подставим числовое значение $R = 0.95$:$k = \sqrt[5]{\frac{5}{(0.95)^4}} = \sqrt[5]{\frac{5}{0.81450625}} \approx \sqrt[5]{6.1387} \approx 1.437$

Ответ: При одном прохождении через активную среду энергия светового импульса увеличивалась примерно в 1,44 раза.

б)

Условие, что энергия световых импульсов, прошедших через зеркало, не изменяется со временем, означает, что система работает в стационарном (установившемся) режиме. В этом режиме усиление энергии импульса в активной среде за один полный проход (туда и обратно) должно в точности компенсировать потери энергии при двух отражениях от зеркал.

Рассмотрим один полный цикл (раунд-трип): импульс проходит через активную среду, отражается от правого зеркала, проходит через среду в обратном направлении и отражается от левого зеркала, возвращаясь в исходное состояние (по положению и направлению).

Пусть $E_{цикл\_нач}$ – энергия импульса в начале цикла.За два прохода через активную среду энергия увеличится в $k_{стац}^2$ раз.За два отражения от зеркал энергия уменьшится в $R^2$ раз.Таким образом, энергия в конце цикла $E_{цикл\_кон}$ будет равна:$E_{цикл\_кон} = E_{цикл\_нач} \cdot k_{стац}^2 \cdot R^2$

Для стационарного режима необходимо, чтобы энергия импульса внутри системы не менялась после полного цикла, то есть $E_{цикл\_кон} = E_{цикл\_нач}$. Отсюда следует условие:$k_{стац}^2 \cdot R^2 = 1$$(k_{стац} \cdot R)^2 = 1$

Так как $k_{стац}$ и $R$ – положительные величины, то:$k_{стац} \cdot R = 1$$k_{стац} = \frac{1}{R}$

Подставим значение $R = 0.95$:$k_{стац} = \frac{1}{0.95} = \frac{100}{95} = \frac{20}{19} \approx 1.053$

Ответ: Чтобы энергия импульсов, прошедших через зеркало, не изменялась, энергия при одном прохождении через активную среду должна увеличиваться примерно в 1,053 раза.