Номер 899, страница 256 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

899. Протон, движущийся со скоростью, модуль которой $v_1 = 40 \frac{\text{км}}{\text{с}}$, сталкивается с неподвижным свободным атомом гелия. В результате столкновения атом гелия переходит в возбужденное состояние, а скорость протона изменяет направление на противоположное и уменьшается вдвое. Определите частоту и длину волны фотона, испускаемого возбужденным атомом гелия при переходе в основное состояние. Масса протона в четыре раза меньше массы атома гелия.

Дано:

Начальная скорость протона, $v_1 = 40 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Начальная скорость атома гелия, $v_{He,1} = 0$

Конечная скорость протона, $v_2 = -v_1/2$

Соотношение масс, $m_{He} = 4 m_p$

Масса протона, $m_p \approx 1.672 \times 10^{-27}$ кг

Постоянная Планка, $h \approx 6.626 \times 10^{-34}$ Дж$\cdot$с

Скорость света, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

Перевод в СИ:

$v_1 = 40 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 40 \times 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Частоту фотона, $\nu$

Длину волны фотона, $\lambda$

Решение:

При столкновении протона с неподвижным атомом гелия происходит неупругое взаимодействие, в результате которого часть кинетической энергии системы переходит во внутреннюю энергию атома гелия (энергию возбуждения $\Delta E$). Когда возбужденный атом возвращается в основное состояние, он испускает фотон с энергией, равной энергии возбуждения $E_{ф} = \Delta E$.

Для определения энергии возбуждения $\Delta E$ воспользуемся законами сохранения импульса и энергии для системы "протон + атом гелия".

1. Закон сохранения импульса.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную вдоль начального движения протона:

$m_p v_1 + m_{He} v_{He,1} = m_p v_2 + m_{He} v_{He,2}$

Подставим известные значения: $v_{He,1} = 0$, $v_2 = -v_1/2$ и $m_{He} = 4 m_p$:

$m_p v_1 + 0 = m_p (-\frac{v_1}{2}) + 4 m_p v_{He,2}$

Сократив на массу протона $m_p$, получим:

$v_1 = -\frac{v_1}{2} + 4 v_{He,2}$

Отсюда выразим скорость атома гелия после столкновения $v_{He,2}$:

$4 v_{He,2} = v_1 + \frac{v_1}{2} = \frac{3}{2} v_1$

$v_{He,2} = \frac{3}{8} v_1$

2. Закон сохранения энергии.

Энергия возбуждения $\Delta E$ равна разности начальной и конечной кинетических энергий системы:

$\Delta E = K_{нач} - K_{кон}$

Начальная кинетическая энергия системы (атом гелия покоился):

$K_{нач} = \frac{m_p v_1^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы:

$K_{кон} = \frac{m_p v_2^2}{2} + \frac{m_{He} v_{He,2}^2}{2}$

Подставим выражения для $v_2$, $v_{He,2}$ и $m_{He}$:

$K_{кон} = \frac{m_p (-v_1/2)^2}{2} + \frac{(4m_p) (3v_1/8)^2}{2} = \frac{m_p v_1^2}{8} + \frac{4m_p \cdot 9v_1^2/64}{2} = \frac{m_p v_1^2}{8} + \frac{9m_p v_1^2}{32}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$K_{кон} = (\frac{4}{32} + \frac{9}{32}) m_p v_1^2 = \frac{13}{32} m_p v_1^2$

Теперь найдем энергию возбуждения $\Delta E$:

$\Delta E = \frac{m_p v_1^2}{2} - \frac{13}{32} m_p v_1^2 = (\frac{16}{32} - \frac{13}{32}) m_p v_1^2 = \frac{3}{32} m_p v_1^2$

Вычислим численное значение $\Delta E$:

$\Delta E = \frac{3}{32} \cdot (1.672 \times 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (40 \times 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 = \frac{3}{32} \cdot (1.672 \times 10^{-27}) \cdot (1.6 \times 10^9) \text{ Дж} \approx 2.51 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

Энергия испускаемого фотона $E_{ф}$ равна энергии возбуждения $\Delta E$. Эта энергия связана с частотой $\nu$ и длиной волны $\lambda$ фотона формулами $E_{ф} = h \nu$ и $E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$.

Частота фотона

Выразим и вычислим частоту фотона:

$\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2.51 \times 10^{-19} \text{ Дж}}{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}} \approx 3.79 \times 10^{14} \text{ Гц}$

Ответ: частота фотона $\nu \approx 3.79 \times 10^{14}$ Гц.

Длина волны фотона

Выразим и вычислим длину волны фотона, используя найденную энергию:

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})}{2.51 \times 10^{-19} \text{ Дж}} \approx 7.92 \times 10^{-7} \text{ м}$

Переведем результат в нанометры: $7.92 \times 10^{-7} \text{ м} = 792 \text{ нм}$.

Ответ: длина волны фотона $\lambda \approx 792$ нм.