Номер 894, страница 255 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

894. Фотон, частота которого $v = 4,0 \cdot 10^{15}$ Гц, выбил электрон из покоящегося атома водорода, находящегося в основном состоянии. Вдали от атома электрон влетел в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 4,1$ мТл. Определите радиус окружности, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле. Линии индукции магнитного поля направлены перпендикулярно скорости электрона.

Дано:

Частота фотона $v = 4.0 \cdot 10^{15}$ Гц

Модуль индукции магнитного поля $B = 4.1$ мТл

Атом водорода в основном состоянии.

Справочные данные:

Постоянная Планка $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Масса электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Модуль заряда электрона $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Энергия ионизации атома водорода в основном состоянии $E_i = 13.6$ эВ

Перевод в систему СИ:

$B = 4.1 \text{ мТл} = 4.1 \cdot 10^{-3}$ Тл

$E_i = 13.6 \text{ эВ} = 13.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 2.176 \cdot 10^{-18}$ Дж

Найти:

Радиус окружности $R$

Решение:

Для решения задачи используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Энергия фотона $E_{ф}$ расходуется на вырывание электрона из атома (работа выхода $A_{вых}$) и сообщение ему кинетической энергии $E_k$.

$E_{ф} = A_{вых} + E_k$

Энергия фотона связана с его частотой $v$ формулой:

$E_{ф} = h \cdot v$

В данном случае работа выхода равна энергии ионизации атома водорода в основном состоянии: $A_{вых} = E_i$. Тогда кинетическая энергия выбитого электрона будет равна:

$E_k = h \cdot v - E_i$

Электрон влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, поэтому на него действует сила Лоренца $F_Л$, которая заставляет его двигаться по окружности. Эта сила является центростремительной $F_{цс}$.

$F_Л = F_{цс}$

$e v_e B = \frac{m_e v_e^2}{R}$

где $v_e$ — скорость электрона, а $R$ — радиус окружности.

Из этого соотношения выражаем радиус $R$:

$R = \frac{m_e v_e}{eB}$

Скорость электрона $v_e$ можно найти из его кинетической энергии $E_k = \frac{m_e v_e^2}{2}$. Отсюда импульс электрона $p = m_e v_e = \sqrt{2 m_e E_k}$. Подставим выражение для импульса в формулу для радиуса:

$R = \frac{\sqrt{2 m_e E_k}}{eB}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для кинетической энергии:

$R = \frac{\sqrt{2 m_e (h \cdot v - E_i)}}{eB}$

Выполним вычисления. Сначала определим кинетическую энергию электрона:

$E_k = 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 4.0 \cdot 10^{15} \text{ Гц} - 2.176 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

$E_k = 2.652 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} - 2.176 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} = 0.476 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Теперь рассчитаем радиус окружности:

$R = \frac{\sqrt{2 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 0.476 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 4.1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{\sqrt{8.6632 \cdot 10^{-49}}}{6.56 \cdot 10^{-22}} \text{ м}$

$R = \frac{\sqrt{0.86632 \cdot 10^{-48}}}{6.56 \cdot 10^{-22}} \text{ м} = \frac{0.931 \cdot 10^{-24}}{6.56 \cdot 10^{-22}} \text{ м} \approx 0.142 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$R \approx 1.42 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$R \approx 1.4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1.4 \text{ мм}$

Ответ: $1.4 \cdot 10^{-3}$ м.