Номер 896, страница 255 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

896. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, столкнулся с таким же свободным покоящимся атомом. Определите минимальную кинетическую энергию атома до столкновения, если после столкновения один из атомов перешел в возбужденное состояние.

Дано:

Атом водорода, движущийся с кинетической энергией $K_{min}$, сталкивается с покоящимся атомом водорода. Оба атома находятся в основном состоянии. После столкновения один из атомов переходит в возбужденное состояние.
Масса атома водорода: $m$.
Энергия ионизации атома водорода: $E_0 = 13.6 \text{ эВ}$.
Элементарный заряд: $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$.

$E_0 = 13.6 \text{ эВ} = 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 21.76 \times 10^{-19} \text{ Дж}$.

Найти:

$K_{min}$ - минимальная кинетическая энергия налетающего атома.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Пусть $m$ - масса атома водорода, $v$ - начальная скорость налетающего атома, а его кинетическая энергия $K_{min} = \frac{1}{2}mv^2$. Второй атом покоится. После столкновения скорости атомов обозначим как $u_1$ и $u_2$.

Закон сохранения импульса в проекции на направление движения первого атома:
$mv = mu_1 + mu_2$
$v = u_1 + u_2$

Столкновение является неупругим, так как часть кинетической энергии идет на возбуждение одного из атомов. Минимальная энергия, необходимая для возбуждения, соответствует переходу атома из основного состояния ($n=1$) в первое возбужденное состояние ($n=2$). Энергия электрона в атоме водорода на уровне $n$ равна $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $E_0 = 13.6 \text{ эВ}$.

Энергия основного состояния: $E_1 = -13.6 \text{ эВ}$.
Энергия первого возбужденного состояния: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} \text{ эВ} = -3.4 \text{ эВ}$.

Энергия возбуждения $\Delta E$:
$\Delta E = E_2 - E_1 = (-3.4 \text{ эВ}) - (-13.6 \text{ эВ}) = 10.2 \text{ эВ}$.

Закон сохранения энергии:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mu_1^2 + \frac{1}{2}mu_2^2 + \Delta E$
$K_{min} = K_{кон} + \Delta E$, где $K_{кон} = \frac{1}{2}m(u_1^2 + u_2^2)$ - суммарная кинетическая энергия атомов после столкновения.

Чтобы начальная кинетическая энергия $K_{min}$ была минимальной, конечная кинетическая энергия $K_{кон}$ должна быть минимальной. Найдем минимум $K_{кон}$ при условии соблюдения закона сохранения импульса.
$K_{кон} = \frac{1}{2}m(u_1^2 + u_2^2)$. Из закона сохранения импульса $u_2 = v - u_1$.
$K_{кон} = \frac{1}{2}m(u_1^2 + (v - u_1)^2) = \frac{1}{2}m(2u_1^2 - 2vu_1 + v^2)$.
Минимум этой квадратичной функции по $u_1$ достигается при $u_1 = \frac{v}{2}$. Тогда и $u_2 = v - \frac{v}{2} = \frac{v}{2}$.
Это означает, что для минимальных потерь на кинетическую энергию атомы после столкновения должны двигаться вместе с одинаковой скоростью (абсолютно неупругий удар).

Подставим $u_1=u_2=v/2$ в закон сохранения энергии:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 + \Delta E$
$\frac{1}{2}mv^2 = 2 \cdot \frac{1}{2}m\frac{v^2}{4} + \Delta E$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \Delta E$

Заменим $\frac{1}{2}mv^2$ на $K_{min}$:
$K_{min} = \frac{1}{2}K_{min} + \Delta E$
$\frac{1}{2}K_{min} = \Delta E$
$K_{min} = 2 \Delta E$

Теперь вычислим итоговое значение:
$K_{min} = 2 \times 10.2 \text{ эВ} = 20.4 \text{ эВ}$.

Ответ: Минимальная кинетическая энергия атома до столкновения равна $20.4 \text{ эВ}$.