Номер 891, страница 254 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

891. Плоская алюминиевая пластинка освещается ультрафиолетовым светом, испускаемым атомами водорода при их переходе с третьего энергетического уровня на первый. На какое максимальное расстояние от поверхности пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне пластинки создано задерживающее однородное электрическое поле, модуль напряженности которого $E=750 \frac{\text{В}}{\text{М}}$, а линии напряженности этого поля перпендикулярны пластинке? Длину волны красной границы фотоэффекта для алюминия определили с помощью дифракционной решетки с периодом $d = 2,64 \text{ мкм}$. На решетку по нормали к ней направляли излучение, и главный максимум четвертого порядка наблюдался под углом $\theta = 30^\circ$.

Дано:

Переход в атоме водорода: с $n_2=3$ на $n_1=1$
Модуль напряженности задерживающего поля: $E = 750$ В/м
Период дифракционной решетки: $d = 2,64$ мкм
Порядок максимума: $k=4$
Угол дифракции: $\theta = 30^\circ$
Постоянная Планка: $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света: $c = 3 \cdot 10^8$ м/с
Элементарный заряд: $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Энергия ионизации водорода: $E_i = 13,6$ эВ

Перевод в СИ:

$d = 2,64 \text{ мкм} = 2,64 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
$E_i = 13,6 \text{ эВ} = 13,6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

$s_{max}$ — максимальное расстояние от поверхности пластинки.

Решение

1. Сначала определим длину волны света $\lambda_{кр}$, соответствующую красной границе фотоэффекта для алюминия. Для этого используем условие максимума для дифракционной решетки:

$d \sin\theta = k \lambda_{кр}$

Из этой формулы выразим искомую длину волны:

$\lambda_{кр} = \frac{d \sin\theta}{k}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\lambda_{кр} = \frac{2,64 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot \sin(30^\circ)}{4} = \frac{2,64 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot 0,5}{4} = 0,33 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

2. Теперь мы можем рассчитать работу выхода $A_{вых}$ электронов из алюминия, которая связана с красной границей фотоэффекта следующим соотношением:

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{кр}}$

$A_{вых} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{0,33 \cdot 10^{-6} \text{ м}} \approx 6,03 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

3. Далее найдем энергию фотонов $E_{ф}$, которыми освещается пластинка. Эти фотоны испускаются при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня ($n_2=3$) на первый ($n_1=1$). Энергия испущенного фотона равна разности энергий этих уровней.

Энергия n-го уровня в атоме водорода определяется формулой $E_n = -\frac{E_i}{n^2}$, где $E_i$ — энергия ионизации атома водорода.

$E_{ф} = E_3 - E_1 = \left(-\frac{E_i}{3^2}\right) - \left(-\frac{E_i}{1^2}\right) = E_i \left(1 - \frac{1}{9}\right) = \frac{8}{9} E_i$

Подставим значение энергии ионизации:

$E_{ф} = \frac{8}{9} \cdot 2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \approx 1,94 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

4. Для нахождения максимальной кинетической энергии $K_{max}$ фотоэлектронов воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + K_{max}$

Отсюда:

$K_{max} = E_{ф} - A_{вых} = 1,94 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} - 6,03 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = (1,94 - 0,603) \cdot 10^{-18} \text{ Дж} = 1,337 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

5. Фотоэлектрон, обладающий максимальной кинетической энергией, вылетает из пластинки и движется в задерживающем электрическом поле. Он остановится на максимальном расстоянии $s_{max}$ от пластинки, когда вся его начальная кинетическая энергия будет израсходована на совершение работы против сил электрического поля. Согласно теореме о кинетической энергии, работа $A_{поля}$, совершаемая полем, равна изменению кинетической энергии электрона:

$A_{поля} = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная} = 0 - K_{max} = -K_{max}$

Работа однородного электрического поля по перемещению заряда $e$ на расстояние $s_{max}$ против поля равна $A_{поля} = -eEs_{max}$.

Приравнивая выражения для работы, получаем:

$-eEs_{max} = -K_{max}$

Отсюда находим максимальное расстояние:

$s_{max} = \frac{K_{max}}{eE}$

Подставляем полученные и известные значения:

$s_{max} = \frac{1,337 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 750 \text{ В/м}} = \frac{1,337 \cdot 10^{-18}}{1200 \cdot 10^{-19}} \text{ м} \approx 0,0111 \text{ м}$

Ответ: максимальное расстояние, на которое может удалиться фотоэлектрон от поверхности пластинки, составляет $s_{max} \approx 1,1$ см.