Номер 893, страница 254 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

893. Фотон с длиной волны $\lambda = 90$ нм выбивает электрон из атома водорода, находящегося на втором энергетическом уровне. Вдали от атома электрон влетает в однородное магнитное поле так, что вектор индукции перпендикулярен вектору скорости электрона. Определите радиус окружности, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле, если его модуль индукции $B = 5,0$ мТл.

Дано:

Длина волны фотона $\lambda = 90$ нм

Энергетический уровень электрона $n = 2$

Модуль индукции магнитного поля $B = 5,0$ мТл

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 90 \cdot 10^{-9}$ м

$B = 5,0 \cdot 10^{-3}$ Тл

Справочные данные:

Постоянная Планка $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме $c \approx 3,00 \cdot 10^8$ м/с

Масса электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

Модуль заряда электрона $|e| \approx 1,60 \cdot 10^{-19}$ Кл

Энергия ионизации атома водорода (постоянная Ридберга в энергетических единицах) $E_0 \approx 13,6$ эВ $\approx 2,18 \cdot 10^{-18}$ Дж

Найти:

$R$

Решение:

1. Для того чтобы выбить электрон из атома, фотон должен передать ему энергию, достаточную для преодоления энергии связи электрона с ядром. Оставшаяся часть энергии переходит в кинетическую энергию электрона. Это описывается уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A + E_k$

где $E_{ф}$ - энергия фотона, $A$ - работа выхода (энергия ионизации с данного уровня), $E_k$ - кинетическая энергия выбитого электрона.

2. Найдем энергию падающего фотона по формуле:

$E_{ф} = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

$E_{ф} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{90 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 2,21 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

3. Энергия электрона на $n$-ом энергетическом уровне в атоме водорода определяется выражением:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$

Для второго уровня ($n=2$):

$E_2 = -\frac{E_0}{2^2} = -\frac{2,18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{4} = -0,545 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Работа выхода для электрона на этом уровне равна модулю его энергии связи:

$A = |E_2| = 0,545 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

4. Теперь найдем кинетическую энергию электрона после выхода из атома:

$E_k = E_{ф} - A = 2,21 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} - 0,545 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} = 1,665 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

5. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно вектору индукции и начинает двигаться по окружности под действием силы Лоренца. Эта сила является центростремительной. Запишем второй закон Ньютона:

$F_Л = m_e \cdot a_ц$

Сила Лоренца $F_Л = |e| v B$, а центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

$|e| v B = \frac{m_e v^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус окружности $R$:

$R = \frac{m_e v}{|e| B}$

6. Чтобы не вычислять скорость $v$, выразим ее через кинетическую энергию. Из формулы $E_k = \frac{m_e v^2}{2}$ следует, что импульс $p = m_e v = \sqrt{2 m_e E_k}$. Подставим это в формулу для радиуса:

$R = \frac{\sqrt{2 m_e E_k}}{|e| B}$

7. Подставим числовые значения и рассчитаем радиус:

$R = \frac{\sqrt{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 1,665 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}}{1,60 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}$

$R = \frac{\sqrt{3,034 \cdot 10^{-48} \text{ кг}^2\text{·м}^2\text{/с}^2}}{8,0 \cdot 10^{-22} \text{ Кл·Тл}} = \frac{1,742 \cdot 10^{-24} \text{ кг·м/с}}{8,0 \cdot 10^{-22} \text{ Кл·Тл}} \approx 0,218 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$R \approx 2,18 \cdot 10^{-3}$ м. Округляя до двух значащих цифр (как в значении $B$), получаем $R \approx 2,2 \cdot 10^{-3}$ м.

Ответ: радиус окружности, по которой будет двигаться электрон, составляет примерно $2,2$ мм.