Номер 900, страница 256 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

900. Определите:

а) номер $n$ энергетического уровня, на который должен перейти атом водорода, чтобы его энергия стала $E_n = -8.5 \cdot 10^{-5}$ эВ;

б) энергию ионизации атома водорода, находящегося в возбужденном состоянии $n$;

в) температуру, при которой средняя кинетическая энергия атомов водорода равна энергии ионизации этого атома, находящегося в возбужденном состоянии $n$.

Дано:

$E_n = -8,5 \cdot 10^{-5}$ эВ

$E_1 = 13,6$ эВ (энергия ионизации атома водорода из основного состояния)

$k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К (постоянная Больцмана)

$1 \text{ эВ} \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж

$E_n = -8,5 \cdot 10^{-5} \text{ эВ} = -8,5 \cdot 10^{-5} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = -1,36 \cdot 10^{-23}$ Дж

Найти:

а) $n$

б) $E_{ion, n}$

в) $T$

Решение:

а)

Энергия электрона в атоме водорода на $n$-ом энергетическом уровне определяется формулой:

$E_n = -\frac{E_1}{n^2}$

где $E_1$ — энергия ионизации атома водорода из основного состояния. Выразим из этой формулы номер уровня $n$:

$n^2 = -\frac{E_1}{E_n}$

Подставим известные значения, используя энергию в электрон-вольтах для удобства:

$n^2 = -\frac{13,6 \text{ эВ}}{-8,5 \cdot 10^{-5} \text{ эВ}} = \frac{13,6}{8,5 \cdot 10^{-5}} = 160000$

Отсюда находим $n$:

$n = \sqrt{160000} = 400$

Ответ: номер энергетического уровня $n = 400$.

б)

Энергия ионизации $E_{ion, n}$ из возбужденного состояния $n$ — это энергия, которую необходимо сообщить атому, чтобы удалить электрон с $n$-го уровня на бесконечность (где его энергия равна нулю). Таким образом, энергия ионизации равна модулю энергии состояния:

$E_{ion, n} = E_{\infty} - E_n = 0 - E_n = -E_n$

Подставим значение энергии $E_n$ из условия:

$E_{ion, n} = -(-8,5 \cdot 10^{-5} \text{ эВ}) = 8,5 \cdot 10^{-5}$ эВ

Ответ: энергия ионизации $E_{ion, n} = 8,5 \cdot 10^{-5}$ эВ.

в)

Средняя кинетическая энергия поступательного движения атомов $\langle E_k \rangle$ связана с абсолютной температурой $T$ соотношением:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$

где $k$ — постоянная Больцмана. По условию задачи, эта энергия равна энергии ионизации из состояния $n$:

$\langle E_k \rangle = E_{ion, n}$

Следовательно:

$\frac{3}{2}kT = E_{ion, n}$

Отсюда выражаем температуру $T$:

$T = \frac{2E_{ion, n}}{3k}$

Перед вычислением переведем энергию ионизации $E_{ion, n}$ из электрон-вольт в джоули:

$E_{ion, n} = 8,5 \cdot 10^{-5} \text{ эВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} = 1,36 \cdot 10^{-23}$ Дж

Подставим числовые значения и рассчитаем температуру:

$T = \frac{2 \cdot 1,36 \cdot 10^{-23} \text{ Дж}}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}} = \frac{2,72}{4,14} \text{ К} \approx 0,657$ К

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными в условии), получаем:

$T \approx 0,66$ К

Ответ: температура $T \approx 0,66$ К.